4.2. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции

Определение 1. Функция называется бесконечно малой при , если .

Определение 2. Функция называется бесконечно большой при , если такое, что , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство . Пишут .

( x: |x-x₀|<δ, xx₀ )

Теорема 1. Для того, чтобы функция имела предел при , равный , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде , где – бесконечно малая при .

Доказательство. Пусть , положим, что . Согласно определению предела для любого существует такое число , что для любых х, таких, что выполняется неравенство , т.е. неравенство , а это и равносильно тому, что .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Теорема 3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.

Докажем этот факт. Для ограниченной функции справедливо неравенство , выполняемое для всех из области определения. Тогда для бесконечно малой можно записать . Таким образом, для любого сколь угодно малого найдется такая -окрестность, что для всех из этой окрестности будет выполняться условие , что и требовалось доказать.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Доказательство. Это сразу следует из предыдущей теоремы по индукции, если заметить, что бесконечно малая функция, как функция , имеющая предел, ограничена.

Теорема 4. Если функция – бесконечно большая, то функция является бесконечно малой. Если функция – бесконечно малая и , то функция является бесконечно большой.

Докажем, например, вторую часть теоремы. Пусть функция является бесконечно малой, тогда для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такая -окрестность точки , что для всех из -окрестности будет выполняться условие . Поэтому, для величины можно указать для любого числа 0 такую -окрестность точки , что для всех из -окрестности будет выполняться условие , что и означает, что величина является бесконечно большой величиной.

4.3. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если – постоянная, , то

.

Теорема 2. Если , и существует конечный или определенного знака бесконечный предел , то . В частности, если , а функция принимает неотрицательные значения , то есть неотрицательное число .

Теорема 3. Если существуют конечные пределы и , то существуют и конечные пределы

, ();

Доказательство. Докажем, что предел алгебраической суммы функций двух функций и равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

Пусть , . Тогда по теореме 1 (п. 4.2) можно записать при , что =В+, = С+, где – бесконечно малые функции. Следовательно, +=В+С++. Здесь В+С – постоянная величина, а + – бесконечно малая величина. Если функция + при представляется в виде суммы константы В+С и бесконечно малой величины, то опять по теореме 1 (п. 4.2) предел этой функции равен В+С.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы и , то существуют и конечные пределы

;

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3

.

Теорема 5. Если существуют конечные пределы и , то существуют и конечные пределы и , то

.

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3. Рассмотрим частное

где два последних предела обращаются в нуль, поскольку являются пределами произведений бесконечно малых величин на ограниченные функции.

Теорема 5. Функция может иметь только один предел при x→а

Доказательство. Пусть =A и =B. По теореме (3) имеем:

0=-B.

Отсюда A - B=0, т.е. A=B.

Теорема 6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

·

Доказательство.

Теорема 7. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

. В частности, aⁿ, nN.

...·

Пределы отношения бесконечно малых величин, отношения бесконечно больших величин, произведения бесконечно малой и бесконечно большой величины могут принимать различные значения или даже не существовать.

Выражения вида

называются неопределенностями.

Пример 1. Вычислить предел .

Решение. Так как и , то этот предел является неопределенностью вида и мы не можем воспользоваться теоремой 3 для предела частного двух функций. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке ее аргумент не принимает значения, равного 1. Поэтому .

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Этот предел, как и в примере 1, является неопределенностью вида . Однако в отличие от примера 1 здесь нельзя непосредственно сократить числитель и знаменатель дроби на . Поэтому предварительно преобразуем функцию, умножив числитель и знаменатель на – выражение, сопряженное числителю. Получим

.

Так как при рассмотрении данного предела аргумент не принимает значения , то, сокращая на , получим

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. Этот предел является неопределенностью вида , так как числитель и знаменатель – бесконечно большие функции при . Разделив числитель и знаменатель на , получим

.