4.6 Сравнение бесконечно малых функций

Если функции и бесконечно малы при , то (неопределенность вида ) может равняться либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, он может не существовать.

Если , то при функция быстрее стремится к нулю, чем . Говорят, что – бесконечно малая более высокого порядка, чем . Пишут .

Если , то – бесконечно малая более низкого порядка, чем . Пишут .

Если , то и – бесконечно малые одного порядка, чем . Пишут и .

Особенно важен частный случай, когда . В этом случае и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ). Пишут .

Если не существует, то и называют несравнимыми бесконечно малыми.

Функция при называется бесконечно малой первого порядка. Если , то бесконечно малую называют бесконечно малой порядка .

Пример 1. Вычислить предел .

Решение. Так как , а из первого замечательного предела следует , то имеем

.

Поэтому и – эквивалентные бесконечно малые при . Отсюда следует, что – бесконечно малая второго порядка по сравнению с .

Из первого замечательного предела, его следствий и следствий из второго замечательного предела следует при эквивалентность следующих функций

x~sinx~tgx~arctgx~ln(1+x) ~e^x-1

Пример 2. Показать, что бесконечно малые величины и при являются эквивалентными.

Решение: Рассмотрим

Пример 3. Показать, что бесконечно малые величины и при являются эквивалентными.

Решение:

Рассмотрим

Теорема 1. Для того чтобы функции и были эквивалентными при , необходимо и достаточно, чтобы

.

Необходимость:

Пусть f эквивалентно g при x, т.е α(x)=φ(x)β(x), где . Тогда α(x)- β(x)= φ(x) β(x)- β(x)=[ φ(x)-1] β(x)=ε(x) β(x), где ε(x)=[ φ(x)-1]0 при x, т.е имеем

Достаточность:

Пусть выполняется , т.е α(x)= β(x)+ε(x) β(x), где . Тогда α(x)= β(x)[1+ε(x)]= φ(x)β(x),где φ(x)= 1+ ε(x) 0 при x,т.е. f эквивалентно g при x,

Это условие можно записать в виде . Оно означает, что разность эквивалентных бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка.

При вычислении пределов весьма полезной оказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если при функции , , , бесконечно малы и a₁~a, β₁~β, то

, Условие эквивалентности функций f и f₁ при х стремящемся к х₀ означает, что f(x)=φ(x) f₁(х), где , а условие эквивалентности функций g и g₁ при х стремящемся к х₀- что g(x)=ψ(x)g₁(х), где . Кроме того, поскольку существует предел , функция определена в некоторой проколотой окрестности точки х₀ и , следовательно, всюду в этой окрестности выполняется неравенство g₁(х)0. Поскольку g(x)=ψ(x)g₁(х), и, очевидно, ψ(x) 0 в некоторой проколотой окрестности точки х₀, то функция g(x) обладает тем же свойством. Поэтому функция определена в некоторой проколотой окрестности точки х₀.Теперь имеем: ===

либо оба предела не существуют.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Поскольку ln(1-x²)~-x², arcsin2x~2x, tg3x~3x при , то

.

Пример 2.16. Показать, что бесконечно малые величины и при являются эквивалентными.

Решение: Рассмотрим

Пример 2.17. Показать, что бесконечно малые величины и при являются эквивалентными.

Решение: Рассмотрим

Бесконечно малая величина является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой величиной, если

.

При вычислении пределов бесконечно малые величины могут заменяться эквивалентными.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. sin x ~ x при x→0;

2. tg x ~ x при x→0;

3. arcsin x ~ x при x→0;

4. arctg x ~ x при x→0;

5. 1 – cos x ~при x→0;

6. e^x – 1 ~ x при x→0;

7. a^x – 1~ x·lna при x→0;

8. ln(1+x) ~ x при x→0;

9. log_a(1+x) ~ x·log_ae при x→0;

10. (1+x)^k -1~k· x, k >0 при x→0; в частности, -1 x ~