Основные понятия об устойчивости автоматических систем. Необходимые и достаточные условия устойчивости

Устойчивость - необходимое свойство любой системы автоматического регулирования и важнейшая характеристика, определяющая ее работоспособность.

Под устойчивым состоянием системы понимается такое состояние, при которой она, будучи выведенной из состояния равновесия внешним возмущением, возвращается к первоначальному положению равновесия после устранения этого возмущения. С точки зрения устойчивости неважно, за какое время и каким путем приходит система в установившееся состояние, важно, чтобы переходный процесс был затухающим.

Неустойчивая же система, например, регулирования температуры, при изменении внешней температуры (возмущения), не может установить постоянной регулируемую величину (температуру), она непрерывно меняется: либо увеличивается, либо уменьшается, либо колеблется с увеличивающейся амплитудой.

Создавая систему автоматического регулирования, можно заранее сделать вывод об ее устойчивости, если найдено дифференциальное уравнение, связывающее выходной сигнал с входным. Анализируя выходной сигнал y(t) , представляющий собой изменение во времени регулируемого параметра, нужно выяснить: может ли этот параметр согласно уравнению со временем стремиться в бесконечность или его значение при переходе из одного состояния в другое асимптотически приближается к конечному значению. В первом случае система неустойчива, во втором - устойчива.

Выходной сигнал y(t) представляет собой решение дифференциального уравнения. Как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, решение его можно записать как сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения y(t)= y_пр(t) + y_св(t). Частное решение имеет физический смысл принужденной составляющей выходного сигнала, изменяющегося под действием управляющего сигнала и асимптотически приближающегося к постоянному установившемуся значению. Эта составляющая не может непрерывно увеличивать выходной сигнал. Вторая составляющая выходного сигнала y_св(t) называется свободной составляющей и характеризует собственные свободные (непринужденные) движения системы. Она может быть всегда записана в следующем виде

y_св(t)=А₁e^λ₁^t+A₂e^λ₂^t +… Аne^λ_n^t, (3.1)

где А₁, А₂ , А_n- постоянные коэффициенты, которые находятся из начальных условий; n - порядок дифференциального уравнения (таким образом количество экспонент в уравнении (3.1) равно степени дифференциального уравнения; λ₁, λ₂, λ_n - корни характеристического уравнения. Из выражения (3.1) видно, что y_св(t), следовательно y(t) будет непрерывно возрастать со временем и система будет неустойчивой, если хотя бы в одной экспоненте корень характеристического уравнения λ будет положителен.

Рис. 3.1 Характер изменения во времени свободной составляющей решения характеристического дифференциального уравнения при различных корнях характеристического уравнения:

а) корни действительные и положительные; б) корни действительные и отрицательные; в) имеется корни комплексно-сопряженные в положительной действительной частью; г) корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью

Если же все корни отрицательны, то при t→∞ свободная составляющая y_св(t) стремится к нулю, такая система устойчива. На рис. 3.1 а, б показаны зависимости изменения во времени свободной составляющей выходного сигнала при λ›0 и λ‹0 . Некоторые корни характеристического уравнения могут быть попарно комплексно-сопряженные. Если, например, корни λ₂ и λ₃ комплексно-сопряженные, то их можно записать в виде

λ₂=α+јβ; λ₃=α-јβ; (3.2)

тогда в уравнении (3.1) они образуют выражение c₂e^λ₂^t+ c₃e^λ₃^t , которое после подстановки (3.2) преобразуется с помощью формул Эйлера в составляющую Кe^αtsin(βt+φ), которая будет затухать только в том случае, если вещественная часть корней отрицательна (см. рис. 3.1 в, г). На основе такого анализа можно сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости системы автоматического регулирования.

Система автоматического регулирования устойчива, если все вещественные корни характеристического уравнения отрицательны, и все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть. В противном случае она неустойчива, либо находится на границе устойчивости.