- •Розділ і. Лінійна алгебра
- •Тема 1: Матриці. Різновиди матриць. Операції над матрицями. Матриці та їх різновиди.
- •Операції над матрицями.
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 2: Визначники, правила їх обчислення. Властивості визначників. Обернена матриця. Визначники, правила їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Завдання для розв’язування.
- •Обернена матриця.
- •Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.
- •Методом елементарних перетворень.
- •Завдання для розв’язування.
- •Матричний метод
- •Метод Крамера.
- •Завдання для розв’язування.
- •Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса.
- •Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.
- •Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.
- •Властивості лз векторних систем.
- •Властивості лнз векторних систем.
- •Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія
- •Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Метод координат.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Основні означення.
- •Операції над векторами.
- •Умова колінеарності.
- •Скалярний добуток.
- •3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
- •Завдання для розв’язування.
- •Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Завдання для розв’язування
- •Тема 7: Рівняння лінії. Основне означення аналітичної геометрії. Пряма на площині. Рівняння лінії.
- •Пряма лінія.
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
- •Рівняння прямої у відрізках на осях.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •Тема 8: Перетворення системи координат.
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •Тема 9: Криві іі порядку.
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
- •Рівнобічна гіпербола.
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
- •Розділ ііі. Вступ до аналізу
- •Тема 11: Функції. Основні поняття. Послідовності. Границя послідовності. Властивості границі. Функції. Основні поняття.
- •Послідовності.
- •Властивості границі.
- •Властивості нм
- •Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.
- •Теореми порівняння.
- •Розкриття невизначеностей.
- •Неперервність функції.
- •Класифікація точок розриву.
- •Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.
- •Розділ іу. Диференціальне числення
- •Арифметичні теореми. Похідна складеної, оберненої функції. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Логарифмічне диференціювання, похідна неявної функції.
- •Похідна неявної функції, логарифмічне диференціювання.
- •Диференціал. Геометричний сенс, інваріантність форми диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •Основні властивості диференціала.
- •Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
- •Опуклість, угнутість, точки перегину. Друга достатня умова екстремума. Асимптоти. Повне дослідження функції.
- •Тема 16: Застосування методів диференціального числення до розв’язування деяких економічних задач.
- •Практичне заняття №1
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Визначники, їх обчислення та властивості.
- •Обернена матриця.
- •Практичне заняття №2
- •1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
- •2. Розв’язування слар методом Крамера.
- •3. Ранг матриці. Знаходження рангу методом елементарних перетворень.
- •Практичне заняття №3
- •1. Розв’язування слар методом Жордана-Гаусса.
- •2. Векторні системи. Базис, розклад за базисом.
- •Практичне заняття №4
- •1. Координатний метод. Найпростіші задачі.
- •2. Пряма на площині. Різновиди рівнянь прямої.
- •Практичне заняття №5
- •1. Криві другого порядку, їх класифікація.
- •2. Дослідження кривих (зведення до нормальних рівнянь). Основні параметри кривих та їх схематична побудова.
- •Практичне заняття №6
- •Границя послідовності. Властивості границі. Арифметичні теореми. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, їх властивості.
- •Практичне заняття №7
- •1. Границя функції. Чудові границі.
- •2. Розкриття невизначеностей.
- •Практичне заняття №8
- •Неперервність функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій.
- •Класифікація точок розриву. Дослідження на неперервність.
- •Практичне заняття №9
- •Похідна функції. Техніка диференціювання.
- •Диференціал функції та його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків. Похідна неявної функції.
- •Практичне заняття №10
- •Монотонність, екстремуми фунції.
- •Опуклість, угнутість графіка функції, точки перегину.
- •Практичне заняття №11
- •Асимптоти графіка функції. Правило Лопіталя.
- •Повне дослідження функції.
Умова колінеарності.
З означення дії множення вектора на число випливає умова колінеарності векторів:
Для того щоб вектори і були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними, тобто .
Приклад: а) Чи колінеарні вектори і ?
б) Знайти , якщо і - колінеарні.
Розв’язування:
а) Оскільки , то .
б) ; .
Скалярний добуток.
Скалярний добуток векторів і – це число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто
Скалярний добуток векторів і дорівнює сумі добутків їх відповідних координат, тобто
Із означення скалярного добутку векторів випливає, що:
-
Довжина вектора дорівнює кореню квадратному із скалярного квадрата вектора, тобто
В алгебраїчній формі довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат, тобто
2. Косинус кута між векторами обчислюється за формулою:
, або .
3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
або .
Приклад:
а) Знайти скалярний добуток векторів і , якщо , .
б) Знайти довжину вектора .
в) Знайти кут між векторами і
г) Чи перпендикулярні вектори і .
д) Знайти , якщо і – перпендикулярні.
Розв’язування:
а) .
б) .
в) .
г) Знайдемо Оскільки , то .
д) . Звідси .
Завдання для розв’язування.
1. Задані вектори і .
Знайти: а) ; б) ; в) ; г) ; .
2. Знайти , якщо вектори і – колінеарні.
3. Знайти , якщо вектори і –перпендикулярні.
Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
Задача 1. Обчислення координат вектора.
Знайти координати вектора , якщо відомі координати його початку і кінця .
Розв’язування.
y A B
0 x |
Оскільки , , , то: . |
Таким чином, щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця відняти відповідні координати початку.
Приклад:
, . Тоді: .
Задача 2. Відстань між двома точками.
Знайти відстань між двома точками площини, якщо відомі координати точок і .
Розв’язування.
Оскільки відстань між двома точками і є довжиною вектора
, то
.
Приклад:
, . Тоді:
.
Задача 3. Поділ відрізка у заданому відношенні.
Знайти координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , тобто: .
Розв’язування.
y x |
Нехай задані координати точок і . Знайдемо координати точки . Розглянемо вектори:
. |
Зауваження:
-
У формулах треба розрізняти координати початку та кінця відрізка.
-
Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців. Дійсно, , і
, .
Приклад. Знайти координати точки перетину медіан трикутника, якщо координати його вершин , , .
Розв’язування.
Зауваження: точку перетину медіан можна знайти за формулою:
; .
Доведіть самостійно.