- •Розділ і. Лінійна алгебра
- •Тема 1: Матриці. Різновиди матриць. Операції над матрицями. Матриці та їх різновиди.
- •Операції над матрицями.
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 2: Визначники, правила їх обчислення. Властивості визначників. Обернена матриця. Визначники, правила їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Завдання для розв’язування.
- •Обернена матриця.
- •Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.
- •Методом елементарних перетворень.
- •Завдання для розв’язування.
- •Матричний метод
- •Метод Крамера.
- •Завдання для розв’язування.
- •Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса.
- •Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.
- •Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.
- •Властивості лз векторних систем.
- •Властивості лнз векторних систем.
- •Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія
- •Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Метод координат.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Основні означення.
- •Операції над векторами.
- •Умова колінеарності.
- •Скалярний добуток.
- •3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
- •Завдання для розв’язування.
- •Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Завдання для розв’язування
- •Тема 7: Рівняння лінії. Основне означення аналітичної геометрії. Пряма на площині. Рівняння лінії.
- •Пряма лінія.
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
- •Рівняння прямої у відрізках на осях.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •Тема 8: Перетворення системи координат.
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •Тема 9: Криві іі порядку.
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
- •Рівнобічна гіпербола.
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
- •Розділ ііі. Вступ до аналізу
- •Тема 11: Функції. Основні поняття. Послідовності. Границя послідовності. Властивості границі. Функції. Основні поняття.
- •Послідовності.
- •Властивості границі.
- •Властивості нм
- •Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.
- •Теореми порівняння.
- •Розкриття невизначеностей.
- •Неперервність функції.
- •Класифікація точок розриву.
- •Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.
- •Розділ іу. Диференціальне числення
- •Арифметичні теореми. Похідна складеної, оберненої функції. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Логарифмічне диференціювання, похідна неявної функції.
- •Похідна неявної функції, логарифмічне диференціювання.
- •Диференціал. Геометричний сенс, інваріантність форми диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •Основні властивості диференціала.
- •Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
- •Опуклість, угнутість, точки перегину. Друга достатня умова екстремума. Асимптоти. Повне дослідження функції.
- •Тема 16: Застосування методів диференціального числення до розв’язування деяких економічних задач.
- •Практичне заняття №1
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Визначники, їх обчислення та властивості.
- •Обернена матриця.
- •Практичне заняття №2
- •1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
- •2. Розв’язування слар методом Крамера.
- •3. Ранг матриці. Знаходження рангу методом елементарних перетворень.
- •Практичне заняття №3
- •1. Розв’язування слар методом Жордана-Гаусса.
- •2. Векторні системи. Базис, розклад за базисом.
- •Практичне заняття №4
- •1. Координатний метод. Найпростіші задачі.
- •2. Пряма на площині. Різновиди рівнянь прямої.
- •Практичне заняття №5
- •1. Криві другого порядку, їх класифікація.
- •2. Дослідження кривих (зведення до нормальних рівнянь). Основні параметри кривих та їх схематична побудова.
- •Практичне заняття №6
- •Границя послідовності. Властивості границі. Арифметичні теореми. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, їх властивості.
- •Практичне заняття №7
- •1. Границя функції. Чудові границі.
- •2. Розкриття невизначеностей.
- •Практичне заняття №8
- •Неперервність функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій.
- •Класифікація точок розриву. Дослідження на неперервність.
- •Практичне заняття №9
- •Похідна функції. Техніка диференціювання.
- •Диференціал функції та його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків. Похідна неявної функції.
- •Практичне заняття №10
- •Монотонність, екстремуми фунції.
- •Опуклість, угнутість графіка функції, точки перегину.
- •Практичне заняття №11
- •Асимптоти графіка функції. Правило Лопіталя.
- •Повне дослідження функції.
Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
Модуль різниці фокальних радіусів є величина стала, що дорівнює дійсній осі:
.
Зауважимо, що цю властивість можна прийняти як геометричне означення гіперболи.
б) рівняння визначає так звану „спряжену” до випадку а) гіперболу з дійсною віссю – на прямій (див. рис.6):
F1 M
(x, y)
y
F2
x 0 B1 B2 A1 A2 b b a a O’ y
= y0 x
= x0 Рис.6 |
Параметри аналогічні гіперболі а) , тільки: – уявна, – дійсна півосі; фокуси і вершини знаходяться на прямій ; ексцентриситет .
Наприклад: ; гіперболічний випадок
; ;
;
;
;
; ;
– гіпербола. (рис.7)
Схематична побудова:
х у 3 F2 F1 2,2 3,7 Рис.7 3,7 |
Параметри: центр ; – уявна, – дійсна півосі; фокуси – на прямій ; відстань від центра до фокусів .
|
2. Якщо , то ліву частину рівняння (9.2) можна розкласти на множники як різницю квадратів:
,
тому рівняння визначатиме на площині дві прямі (вироджена гіпербола).
Наприклад: ;гіпербола;
;
;
;
–1 3 1 х y 5 l1 l2 Рис.8 |
; ; ; – дві прямі
(рис.8) |
Рівнобічна гіпербола.
Розглянемо рівнобічну гіперболу з центром у точці :
або (рис.9)
а а y x x’ y’ Рис.9 |
Очевидно, асимптотами рівнобічної гіперболи є бісектриси І, ІІІ і ІІ, ІV координатних кутів, які визначаються рівняннями і . Розглянемо рівняння гіперболи в новій системі координат , зробивши поворот старої системи на кут . При цьому ; : ; |
; ; або , де .
Висновок: Графіком функції (оберненої пропорційної залежності) є рівнобічна гіпербола. Неважко показати, що графіком дробово–лінійної функції теж є рівнобічна гіпербола.
Наприклад: побудувати графік функції .
y x 2 1 x
= 1 y
= 2 O’ 0 Рис.10 |
Виконаємо перетворення: ; ; ; – рівнобічна гіпербола з центром ;
асимптоти – прямі і (див. рис.10) |
ІІІ. Параболічний випадок ()
1. Нехай . Якщо коефіцієнт при у загальному рівнянні (8.1) відмінний від нуля (), то, виділяючи повний квадрат по змінній , рівняння зводиться до одного із видів:
а) (рис.11) або
б) (рис.12) – нормальні рівняння параболи, які визначають на площині такі криві:
y
а
x
= x0
– p/2
F p/2 p/2
y
= y0
O’
x 0
x
= x0
Рис.11
|
y x 0 x
= x0 x
= x0
+ p/2
б
y
= y0 p/2 p/2 F Рис.12 |
Параметри парабол: – вершина; – фокус, – параметр, який дорівнює відстані від фокуса до директриси: для а) – пряма , для б) – пряма ; вітки параболи симетричні відносно осі параболи – прямої і направлені у випадку а) вправо, а у випадку б) вліво.