- •Розділ і. Лінійна алгебра
- •Тема 1: Матриці. Різновиди матриць. Операції над матрицями. Матриці та їх різновиди.
- •Операції над матрицями.
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 2: Визначники, правила їх обчислення. Властивості визначників. Обернена матриця. Визначники, правила їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Завдання для розв’язування.
- •Обернена матриця.
- •Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.
- •Методом елементарних перетворень.
- •Завдання для розв’язування.
- •Матричний метод
- •Метод Крамера.
- •Завдання для розв’язування.
- •Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса.
- •Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.
- •Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.
- •Властивості лз векторних систем.
- •Властивості лнз векторних систем.
- •Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія
- •Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Метод координат.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Основні означення.
- •Операції над векторами.
- •Умова колінеарності.
- •Скалярний добуток.
- •3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
- •Завдання для розв’язування.
- •Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Завдання для розв’язування
- •Тема 7: Рівняння лінії. Основне означення аналітичної геометрії. Пряма на площині. Рівняння лінії.
- •Пряма лінія.
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
- •Рівняння прямої у відрізках на осях.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •Тема 8: Перетворення системи координат.
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •Тема 9: Криві іі порядку.
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
- •Рівнобічна гіпербола.
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
- •Розділ ііі. Вступ до аналізу
- •Тема 11: Функції. Основні поняття. Послідовності. Границя послідовності. Властивості границі. Функції. Основні поняття.
- •Послідовності.
- •Властивості границі.
- •Властивості нм
- •Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.
- •Теореми порівняння.
- •Розкриття невизначеностей.
- •Неперервність функції.
- •Класифікація точок розриву.
- •Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.
- •Розділ іу. Диференціальне числення
- •Арифметичні теореми. Похідна складеної, оберненої функції. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Логарифмічне диференціювання, похідна неявної функції.
- •Похідна неявної функції, логарифмічне диференціювання.
- •Диференціал. Геометричний сенс, інваріантність форми диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •Основні властивості диференціала.
- •Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
- •Опуклість, угнутість, точки перегину. Друга достатня умова екстремума. Асимптоти. Повне дослідження функції.
- •Тема 16: Застосування методів диференціального числення до розв’язування деяких економічних задач.
- •Практичне заняття №1
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Визначники, їх обчислення та властивості.
- •Обернена матриця.
- •Практичне заняття №2
- •1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
- •2. Розв’язування слар методом Крамера.
- •3. Ранг матриці. Знаходження рангу методом елементарних перетворень.
- •Практичне заняття №3
- •1. Розв’язування слар методом Жордана-Гаусса.
- •2. Векторні системи. Базис, розклад за базисом.
- •Практичне заняття №4
- •1. Координатний метод. Найпростіші задачі.
- •2. Пряма на площині. Різновиди рівнянь прямої.
- •Практичне заняття №5
- •1. Криві другого порядку, їх класифікація.
- •2. Дослідження кривих (зведення до нормальних рівнянь). Основні параметри кривих та їх схематична побудова.
- •Практичне заняття №6
- •Границя послідовності. Властивості границі. Арифметичні теореми. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, їх властивості.
- •Практичне заняття №7
- •1. Границя функції. Чудові границі.
- •2. Розкриття невизначеностей.
- •Практичне заняття №8
- •Неперервність функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій.
- •Класифікація точок розриву. Дослідження на неперервність.
- •Практичне заняття №9
- •Похідна функції. Техніка диференціювання.
- •Диференціал функції та його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків. Похідна неявної функції.
- •Практичне заняття №10
- •Монотонність, екстремуми фунції.
- •Опуклість, угнутість графіка функції, точки перегину.
- •Практичне заняття №11
- •Асимптоти графіка функції. Правило Лопіталя.
- •Повне дослідження функції.
Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
Кутом між двома прямими називається найменший кут, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки одну пряму так, щоб вона співпала або стала паралельною іншій прямій.
|
Як видно, , тоді . Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:
|
|
||
, , |
|
, . |
Кут між двома прямими можна також знаходити як кут між векторами нормалі і (або напрямними векторами і ) цих прямих. Отже:
Якщо прямі задані загальними рівняннями
, , |
то , |
і ; .
Якщо прямі задані у канонічному вигляді,
, , |
то , |
і ; .
Приклад.
Знайти кут між прямими: а) і .
б) і ; в) і .
Розв’язування.
Тема 8: Перетворення системи координат.
До перетворень системи координат відносяться паралельне перенесення та поворот.
-
Паралельне перенесення
Нехай на площині задана система координат . Зробимо перенесення координатних осей: , . При цьому початок нової системи координат: .
y |
Розглянемо довільну точку , яка в системі має координати , а в – .
|
Перехід від “старої” до “нової” системи координат:
.
Перехід від “нової” до “старої” системи координат:
.
Приклад.
Рівняння деякої лінії має вигляд . Яким буде рівняння цієї ж лінії після переносу початку координат у точку .
Розв’язування.
2. Поворот координатних осей
Початок координат залишимо на своєму місці, а вісі повернемо на деякий кут .
|
Перехід від „нових” до „старих” координат точки :
Перехід від „старих” до „нових” координат точки : |
Тема 9: Криві іі порядку.
Розглянемо загальне рівняння ІІ степеня з двома змінними і :
, де . (9.1*)
Завжди можна підібрати кут , на який потрібно зробити поворот системи координат так, щоб у новій системі рівняння (9.1*) не містило добутку (тобто ). Тому далі розглядаємо рівняння
, де . (9.1)
Дослідимо три можливі випадки:
І. Еліптичний: (тобто коефіцієнти при і одного знака).
ІІ. Гіперболічний: (коефіцієнти при і різного знака).
ІІІ. Параболічний: (тільки одна із змінних входить до рівняння у другому степені).
І. Еліптичний випадок (). Виділяючи повні квадрати по обох змінних, рівняння (9.1) зводимо до вигляду:
(9.2)
Продемонструємо цей процес на конкретному прикладі:
а) згрупуємо змінні:
б) винесемо за квадратні дужки коефіцієнти при , :
в) доповнюємо до повних квадратів:
г) розкриємо (лише квадратні) дужки і приведемо до вигляду (9.2):
.
Повернемося до рівняння (9.2). Це рівняння може визначати на площині різні множини точок, тому розглянемо всі можливі випадки:
1. Якщо , і – одного знака, то діленням обох частин рівняння (9.2) на дістанемо:
або .
Позначимо , . Тоді рівняння (9.2) набуває вигляду:
– нормальне рівняння еліпса.
Можна показати, що дане рівняння визначає на площині:
а) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі (див. рис.1):
y
В1 M(x;
y)
a b
А1 А2 a
y0 y=y0 0' F1 F2
b c c
B2
x0
x 0
x=x0 Рис.1
|
Параметри еліпса: центр – ; – велика вісь (або – велика піввісь); – мала вісь (або – мала піввісь); – фокуси, які лежать на великій осі і розташовані на відстані від центра ; ексцентриситет , який визначається як відношення міжфокусної відстані до великої осі і для еліпса ; – вершини еліпса.