- •Розділ і. Лінійна алгебра
- •Тема 1: Матриці. Різновиди матриць. Операції над матрицями. Матриці та їх різновиди.
- •Операції над матрицями.
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 2: Визначники, правила їх обчислення. Властивості визначників. Обернена матриця. Визначники, правила їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Завдання для розв’язування.
- •Обернена матриця.
- •Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.
- •Методом елементарних перетворень.
- •Завдання для розв’язування.
- •Матричний метод
- •Метод Крамера.
- •Завдання для розв’язування.
- •Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса.
- •Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.
- •Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.
- •Властивості лз векторних систем.
- •Властивості лнз векторних систем.
- •Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія
- •Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Метод координат.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Основні означення.
- •Операції над векторами.
- •Умова колінеарності.
- •Скалярний добуток.
- •3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
- •Завдання для розв’язування.
- •Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Завдання для розв’язування
- •Тема 7: Рівняння лінії. Основне означення аналітичної геометрії. Пряма на площині. Рівняння лінії.
- •Пряма лінія.
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
- •Рівняння прямої у відрізках на осях.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •Тема 8: Перетворення системи координат.
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •Тема 9: Криві іі порядку.
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
- •Рівнобічна гіпербола.
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
- •Розділ ііі. Вступ до аналізу
- •Тема 11: Функції. Основні поняття. Послідовності. Границя послідовності. Властивості границі. Функції. Основні поняття.
- •Послідовності.
- •Властивості границі.
- •Властивості нм
- •Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.
- •Теореми порівняння.
- •Розкриття невизначеностей.
- •Неперервність функції.
- •Класифікація точок розриву.
- •Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.
- •Розділ іу. Диференціальне числення
- •Арифметичні теореми. Похідна складеної, оберненої функції. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Логарифмічне диференціювання, похідна неявної функції.
- •Похідна неявної функції, логарифмічне диференціювання.
- •Диференціал. Геометричний сенс, інваріантність форми диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •Основні властивості диференціала.
- •Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
- •Опуклість, угнутість, точки перегину. Друга достатня умова екстремума. Асимптоти. Повне дослідження функції.
- •Тема 16: Застосування методів диференціального числення до розв’язування деяких економічних задач.
- •Практичне заняття №1
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Визначники, їх обчислення та властивості.
- •Обернена матриця.
- •Практичне заняття №2
- •1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
- •2. Розв’язування слар методом Крамера.
- •3. Ранг матриці. Знаходження рангу методом елементарних перетворень.
- •Практичне заняття №3
- •1. Розв’язування слар методом Жордана-Гаусса.
- •2. Векторні системи. Базис, розклад за базисом.
- •Практичне заняття №4
- •1. Координатний метод. Найпростіші задачі.
- •2. Пряма на площині. Різновиди рівнянь прямої.
- •Практичне заняття №5
- •1. Криві другого порядку, їх класифікація.
- •2. Дослідження кривих (зведення до нормальних рівнянь). Основні параметри кривих та їх схематична побудова.
- •Практичне заняття №6
- •Границя послідовності. Властивості границі. Арифметичні теореми. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, їх властивості.
- •Практичне заняття №7
- •1. Границя функції. Чудові границі.
- •2. Розкриття невизначеностей.
- •Практичне заняття №8
- •Неперервність функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій.
- •Класифікація точок розриву. Дослідження на неперервність.
- •Практичне заняття №9
- •Похідна функції. Техніка диференціювання.
- •Диференціал функції та його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків. Похідна неявної функції.
- •Практичне заняття №10
- •Монотонність, екстремуми фунції.
- •Опуклість, угнутість графіка функції, точки перегину.
- •Практичне заняття №11
- •Асимптоти графіка функції. Правило Лопіталя.
- •Повне дослідження функції.
Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
Будь–яка точка параболи рівновіддалена від фокуса і директриси.
2. Якщо в загальному рівнянні (9.1): , і коефіцієнт при , то, аналогічно попередньому, рівняння зводиться до одного із двох нормальних рівнянь парабол, схематично зображених на рис.13:
y x 0 O’ y
= y0
Рис.13 |
Параметри аналогічні попередньому зі змінами: вітки симетричні відносно осі – прямої і направлені вгору або вниз; директриси – прямі та . Висновок: Графіком квадратичної функції , є парабола (випадок 2). |
x
= x0
Наприклад. Побудувати графік функції .
Маємо загальне рівняння (9.1):
; (параболічний випадок)
і коефіцієнт при . Приведемо до нормального рівняння:
; ;
; ;
;
– парабола.
х=1
П
y |
Рис.14 у=
-4 |
3. Якщо в загальному рівнянні (9.1) в явному вигляді є тільки одна змінна, тобто або , то рівняння визначатиме, залежно від дискримінанта квадратних тричленів:
а) якщо дискримінант більший від нуля, то дві прямі; а якщо дискримінант дорівнює нулю, то одну пряму (вироджену параболу);
б) уявну параболу, якщо дискримінант від’ємний (порожню множину точок площини).
Наприклад:
а)
;
Дане рівняння визначає на площині дві паралельні прямі
|
у х=3 х |
б)
. Дане рівняння визначає на площині порожню множину точок.
Завдання для розв’язування.
Дослідити криву (тобто, привести рівняння другого порядку до нормального вигляду і описати параметри кривої):
1.
2.
3.
4.
5.
Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
Велика кількість інформації, яку отримують в результаті різноманітних досліджень (зокрема, економічних), подається у вигляді таблиць. Саме апарат матричної алгебри дає можливість обробляти, аналізувати та застосовувати для моделювання цю інформацію.
Приклад. Підприємство виробляє три види продукції, витрачаючи два типи ресурсів. Норми витрат визначаються матрицею , елементи якої показують кількість одиниць -го ресурсу, який витрачається на виробництво однієї одиниці -го виду продукції. План випуску (одиниць продукції) визначається матрицею . Знайти: а) планові витрати типів ресурсів; б) повну вартість (в грн.) витрачених ресурсів, якщо ціни на одиницю першого та другого типу ресурсів відповідно становили 7 та 9 грн.
Розв’язування. Позначимо (од.) – витрати першого, а (од.) – другого ресурсів. Дістанемо матрицю - матрицю планових витрат ресурсів. Витрати ресурсів на все виробництво знаходяться як сума добутків об’ємів випуску на норми витрат, тобто:
.
Отже, для виконання плану випуску потрбно буде витратити (од.) першого та (од.) другого ресурсу.
За умовою ціна одиниці першого ресурсу (грн), другого - (грн). Введемо матрицю цін ресурсів . Тоді повна вартість (грн) витрачених ресурсів дорівнюватиме добутку матриць (скалярному добутку векторів – матриць):
.
Приклад. Підприємство виробляє два види продукції, витрачаючи два типи ресурсів. Норми витрат визначаються матрицею , елементи якої дорівнюють кількості одиниць -го типу ресурсу, який витрачається на виробництво однієї одиниці -го виду продукції. Наявні запаси ресурсів (в одиницях) визначаються матрицею . Знайти план випуску (одиниць продукції) при умові повного використання ресурсів.
Розв’язування. Нехай (од.) – план випуску першого виду продукції, а (од.) – другого виду. Тоді - матриця планових випусків. Витрати ресурсів на все виробництво знаходяться як сума добутків об’ємів випуску на норми витрат, тобто:
.
За умови повного використання ресурсів повинна виконуватись рівність:
,
яка є матричною формою запису системи
.
Розв’язуючи систему, дістаємо план випуску: (од.), (од.).
Поняття лінійного векторного простору має широке застосування, наприклад, в теорії корисності, теорії споживання при вивченні поведінки споживачів і виробників на ринках товарів та послуг, виробничих ресурсів тощо. Методи аналітичної геометрії дозволяють давати геометричну інтепретацію економіко-математичних моделей.
Приклад. Споживач має прибуток у розмірі 600 грн і хоче витратити його на придбання двох товарів. Ціна одиниці першого товару становить 20 грн, а другого – 30 грн. Записати аналітично та зобразити графічно бюджетне обмеження та бюджетну множину споживача. Вказати декілька допустимих наборів товарів.
Розв’язування. Нехай споживач бажає придбати (од.) першого товару і (од.) – другого, які, очевидно, можуть набувати лише невід’ємних значень. Тоді - вектор (матриця-рядок) із невід’ємними координатами можливих наборів товарів. Ці вектори можна інтерпретувати як точки першого октанта площини . Враховуючи ціни одиниці першого товару (грн) та другого (грн), можна записати витрати на придбання набору товарів: (грн). Зрозуміло, що витрати не повинні перевищувати доходу споживача: . Таким чином, бюджетна множина визначається системою нерівностей:
Графічний образ лінійної нерівності - це множина точок однієї із півплощин, на які поділяє всю координатну площину гранична пряма - бюджетне обмеження. Тому графічним образом бюджетної множини у нашому прикладі є трикутник АОВ:
Зауваження. При зростанні доходу або зниженні цін бюджетне обмеження зсовується від початку координат і бюджетна множина збільшується (справедливою є і обернена ситуація).
Приклад. На ринку деякого товару залежності обсягів попиту та пропозиції від ціни за одиницю товару визначаються формулами: . Зобразити на координатній площині ринковий простір, знайти рівноважну ціну та охарактеризувати сектори ринку.
Розв’язування. На координатній площині побудуємо графіки лінійних залежностей попиту та пропозиції від ціни, які, очевидно, можуть набувати лише невід’ємних значень:
Ординати точок ринкового простору (із першого октанта) характеризують або можливість виробників випустити, або бажання споживачів купити певну кількість товару за дану ціну . Рівноважна ціна повинна задовольняти рівняння рівноваги попиту та пропозиції: , тобто , звідки . Характеристика секторів ринку:
Приклад. Транспортні витрати (в грн) перевезення одиниці вантажу залізничним () та автомобільним () транспортом на відстань (в десятках км) визначаються формулами: . Який економічний сенс коефіцієнтів у цих формулах? Побудувати графіки транспортних витрат та з’ясувати економічну доцільність перевезень тим чи іншим видом транспорту.
Розв’язування. Залежність транспортних витрат від відстані має вигляд лінійної функції , в якій коефіцієнт характеризує витрати перевезення однієї одиниці вантажу на один десяток км, а - сталі витрати, які не залежать від відстані (витрати на зберігання, перевантаження тощо). Із економічного сенсу випливає невід’ємність змінних та , тому графіками залежностей будуть частини прямих, розташовані у першому октанті системи координат :
Із графічної ілюстрації видно, що на відстані до 100км дешевше перевозити автомобільним транспортом, а на відстані більше 100км – залізничним.