- •Розділ і. Лінійна алгебра
- •Тема 1: Матриці. Різновиди матриць. Операції над матрицями. Матриці та їх різновиди.
- •Операції над матрицями.
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 2: Визначники, правила їх обчислення. Властивості визначників. Обернена матриця. Визначники, правила їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Завдання для розв’язування.
- •Обернена матриця.
- •Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.
- •Методом елементарних перетворень.
- •Завдання для розв’язування.
- •Матричний метод
- •Метод Крамера.
- •Завдання для розв’язування.
- •Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса.
- •Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.
- •Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.
- •Властивості лз векторних систем.
- •Властивості лнз векторних систем.
- •Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія
- •Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Метод координат.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Основні означення.
- •Операції над векторами.
- •Умова колінеарності.
- •Скалярний добуток.
- •3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
- •Завдання для розв’язування.
- •Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Завдання для розв’язування
- •Тема 7: Рівняння лінії. Основне означення аналітичної геометрії. Пряма на площині. Рівняння лінії.
- •Пряма лінія.
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
- •Рівняння прямої у відрізках на осях.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •Тема 8: Перетворення системи координат.
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •Тема 9: Криві іі порядку.
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
- •Рівнобічна гіпербола.
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
- •Розділ ііі. Вступ до аналізу
- •Тема 11: Функції. Основні поняття. Послідовності. Границя послідовності. Властивості границі. Функції. Основні поняття.
- •Послідовності.
- •Властивості границі.
- •Властивості нм
- •Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.
- •Теореми порівняння.
- •Розкриття невизначеностей.
- •Неперервність функції.
- •Класифікація точок розриву.
- •Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.
- •Розділ іу. Диференціальне числення
- •Арифметичні теореми. Похідна складеної, оберненої функції. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Логарифмічне диференціювання, похідна неявної функції.
- •Похідна неявної функції, логарифмічне диференціювання.
- •Диференціал. Геометричний сенс, інваріантність форми диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •Основні властивості диференціала.
- •Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
- •Опуклість, угнутість, точки перегину. Друга достатня умова екстремума. Асимптоти. Повне дослідження функції.
- •Тема 16: Застосування методів диференціального числення до розв’язування деяких економічних задач.
- •Практичне заняття №1
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Визначники, їх обчислення та властивості.
- •Обернена матриця.
- •Практичне заняття №2
- •1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
- •2. Розв’язування слар методом Крамера.
- •3. Ранг матриці. Знаходження рангу методом елементарних перетворень.
- •Практичне заняття №3
- •1. Розв’язування слар методом Жордана-Гаусса.
- •2. Векторні системи. Базис, розклад за базисом.
- •Практичне заняття №4
- •1. Координатний метод. Найпростіші задачі.
- •2. Пряма на площині. Різновиди рівнянь прямої.
- •Практичне заняття №5
- •1. Криві другого порядку, їх класифікація.
- •2. Дослідження кривих (зведення до нормальних рівнянь). Основні параметри кривих та їх схематична побудова.
- •Практичне заняття №6
- •Границя послідовності. Властивості границі. Арифметичні теореми. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, їх властивості.
- •Практичне заняття №7
- •1. Границя функції. Чудові границі.
- •2. Розкриття невизначеностей.
- •Практичне заняття №8
- •Неперервність функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій.
- •Класифікація точок розриву. Дослідження на неперервність.
- •Практичне заняття №9
- •Похідна функції. Техніка диференціювання.
- •Диференціал функції та його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків. Похідна неявної функції.
- •Практичне заняття №10
- •Монотонність, екстремуми фунції.
- •Опуклість, угнутість графіка функції, точки перегину.
- •Практичне заняття №11
- •Асимптоти графіка функції. Правило Лопіталя.
- •Повне дослідження функції.
Характеристична властивість точок еліпса
Сума відстаней від будь–якої точки еліпса до двох даних точок – фокусів (або сума фокальних радіусів , ) є величина стала, яка дорівнює великій осі еліпса, тобто .
Зауваження. Характеристичну властивість точок еліпса можна прийняти за його геометричне означення.
Зазначимо, що у попередньому конкретному прикладі маємо саме такий випадок (; ; – одного знака), тому рівняння зводиться до такого нормального рівняння еліпса:
або .
О
y x
= 5
x 0
1 В1
2,8 2,8 y
= –1,5
А1 А2
1 2,6 2,6 0' F1 F2
Рис.2 В2
|
б) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі .
Наприклад: ; еліпс;
; ; ; ;
; ;
– нормальне рівняння еліпса (рис.3)
1,4 1,4 1,7 1,7 1 х y 0 х
= –1 F1 F2 Рис.3 |
Параметри: центр ; – мала, а – велика півосі; відстань від центра до фокусів ; ексцентриситет . |
в) у випадку еліпс перетворюється в коло з центром радіуса .
Наприклад:
y
нормальне рівняння кола. (рис.4) Параметри: центр ; радіус . |
y
= 2
x 0
x
= 4 Рис.4 |
2. Якщо в рівнянні (9.2) і – різних знаків, то немає точок площини, координати яких задовольняли б рівняння. У цьому випадку кажуть, що рівняння визначає уявний еліпс.
Наприклад: ; еліпс.
; ;
; ;
; .
Дістали рівняння, ліва частина якого набуває при будь–яких тільки невід’ємних значень. Отже, рівняння визначає порожню множину точок – уявний еліпс.
3. Якщо , то рівняння (9.2) набуває вигляду:
,
і визначає єдину точку – вироджений еліпс.
ІІ. Гіперболічний випадок .
Аналогічно еліптичному випадку загальне рівняння (9.1) приводиться до вигляду (9.2):
.
1. Якщо , то, поділивши обидві частини рівняння (9.2) на або (–), дістанемо одне із двох рівнянь:
– нормальні рівняння гіперболи.
Можна показати, що ці рівняння визначають на площині:
а) – гіперболу з дійсною віссю, вершинами і фокусами – на прямій (див. рис.5)
y
M
(x, y)
B1
b
F2 F1 O’ y
= y0
A1 A2 a a
b
B2
x
0 x
= x0
Рис.5 |
Параметри: центр ; – дійсна, – уявна півосі; вершини ; фокуси знаходяться на прямій на відстані від центра ; ексцентриситет – відношення міжфокусної відстані до дійсної осі – , який для гіперболи ; асимптоти – прямі (діагоналі так званого „основного прямокутника”), що визначаються рівняннями .
Нагадаємо, що пряма є асимптотою лінії , якщо при прямуванні точки по лінії у нескінченність відстань від цієї точки до асимптоти прямує до нуля.