- •Розділ і. Лінійна алгебра
- •Тема 1: Матриці. Різновиди матриць. Операції над матрицями. Матриці та їх різновиди.
- •Операції над матрицями.
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 2: Визначники, правила їх обчислення. Властивості визначників. Обернена матриця. Визначники, правила їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Завдання для розв’язування.
- •Обернена матриця.
- •Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.
- •Методом елементарних перетворень.
- •Завдання для розв’язування.
- •Матричний метод
- •Метод Крамера.
- •Завдання для розв’язування.
- •Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса.
- •Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.
- •Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.
- •Властивості лз векторних систем.
- •Властивості лнз векторних систем.
- •Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія
- •Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Метод координат.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Основні означення.
- •Операції над векторами.
- •Умова колінеарності.
- •Скалярний добуток.
- •3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто
- •Завдання для розв’язування.
- •Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
- •Завдання для розв’язування
- •Тема 7: Рівняння лінії. Основне означення аналітичної геометрії. Пряма на площині. Рівняння лінії.
- •Пряма лінія.
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
- •Рівняння прямої у відрізках на осях.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.
- •Тема 8: Перетворення системи координат.
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •Тема 9: Криві іі порядку.
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи.
- •Рівнобічна гіпербола.
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для розв’язування.
- •Тема 10: Застосування методів лінійної алгебри та аналітичної геометрії до розв’язування деяких економічних задач.
- •Розділ ііі. Вступ до аналізу
- •Тема 11: Функції. Основні поняття. Послідовності. Границя послідовності. Властивості границі. Функції. Основні поняття.
- •Послідовності.
- •Властивості границі.
- •Властивості нм
- •Арифметичні теореми для збіжних послідовностей.
- •Теореми порівняння.
- •Розкриття невизначеностей.
- •Неперервність функції.
- •Класифікація точок розриву.
- •Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку.
- •Розділ іу. Диференціальне числення
- •Арифметичні теореми. Похідна складеної, оберненої функції. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Логарифмічне диференціювання, похідна неявної функції.
- •Похідна неявної функції, логарифмічне диференціювання.
- •Диференціал. Геометричний сенс, інваріантність форми диференціалу. Похідні та диференціали вищих порядків.
- •Основні властивості диференціала.
- •Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
- •Опуклість, угнутість, точки перегину. Друга достатня умова екстремума. Асимптоти. Повне дослідження функції.
- •Тема 16: Застосування методів диференціального числення до розв’язування деяких економічних задач.
- •Практичне заняття №1
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Визначники, їх обчислення та властивості.
- •Обернена матриця.
- •Практичне заняття №2
- •1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар) за допомогою оберненої матриці (матричним методом).
- •2. Розв’язування слар методом Крамера.
- •3. Ранг матриці. Знаходження рангу методом елементарних перетворень.
- •Практичне заняття №3
- •1. Розв’язування слар методом Жордана-Гаусса.
- •2. Векторні системи. Базис, розклад за базисом.
- •Практичне заняття №4
- •1. Координатний метод. Найпростіші задачі.
- •2. Пряма на площині. Різновиди рівнянь прямої.
- •Практичне заняття №5
- •1. Криві другого порядку, їх класифікація.
- •2. Дослідження кривих (зведення до нормальних рівнянь). Основні параметри кривих та їх схематична побудова.
- •Практичне заняття №6
- •Границя послідовності. Властивості границі. Арифметичні теореми. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, їх властивості.
- •Практичне заняття №7
- •1. Границя функції. Чудові границі.
- •2. Розкриття невизначеностей.
- •Практичне заняття №8
- •Неперервність функції в точці, на проміжку. Властивості неперервних функцій.
- •Класифікація точок розриву. Дослідження на неперервність.
- •Практичне заняття №9
- •Похідна функції. Техніка диференціювання.
- •Диференціал функції та його властивості. Похідні та диференціали вищих порядків. Похідна неявної функції.
- •Практичне заняття №10
- •Монотонність, екстремуми фунції.
- •Опуклість, угнутість графіка функції, точки перегину.
- •Практичне заняття №11
- •Асимптоти графіка функції. Правило Лопіталя.
- •Повне дослідження функції.
Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.
Однією із характерних особливостей поведінки функції є її монотонність: зростання, неспадання, спадання, незростання. Розглянемо застосування методів диференціального числення для дослідження монотонності. Графічна ілюстрація (базуючись на геометричному сенсі похідної):
Теорема (критерій монотонності). Для того, щоб диференційовна на інтервалі функція була неспадною (незростаючою) на цьому інтервалі, необхідно і достатньо, щоб її похідна була невід’ємною (недодатною) на .
Доведення. Необхідність. Проведемо для неспадної функції. Виберемо довільні так, щоб точки . Оскільки функція неспадна, то , тому , а . Якщо ж довільні такі, що точки , то із неспадання функції випливає , тому , а . Для диференційовної функції існує границя за однією із теорем порівняння. Необхідність доведено.
Достатність. Виберемо на інтервалі довільні точки . На сегменті застосуємо формулу Лагранжа:
.
Так як , а за умовами теореми , то . Отже, для будь-яких . За означенням функція неспадна на інтервалі . Достатність доведено.
Наслідок. Із доведення достатності випливає наступне твердження (достатня умова строгої монотонності). Якщо на деякому інтервалі похідна ( ), то функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.
Зауважимо, що знакосталість похідної не є необхідною умовою строгої монотонності. Наприклад, функція зростає на , але в точці її похідна дорівнює нулю.
Нехай функція визначена в точці та в деякому її околі.
Означення. Точка називається точкою максимума (мінімума) функції , якщо для всіх із околу точки виконується:
.
Означення. Точки максимума та мінімума називають точками екстремума і кажуть, що функція має екстремуми (локальні) у цих точках.
Графічна ілюстрація:
Означення. Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними (критичними точками першої похідної або критичними точками першого порядку). Точки, в яких похідна існує і дорівнює нулю, ще називають стаціонарними.
Теорема (необхідна умова екстремума). Якщо функція має в точці екстремум, то ця точка є критичною.
Наслідок. Якщо точка не є критичною, то функція в цій точці екстремума не має.
Висновок. Точки екстремума слід шукати лише серед критичних точок.
Але не будь-яка критична точка буде точкою екстремума (див. вище приклад функції ). Тому необхідні достатні умови.
Теорема (перша достатня умова екстремума). Якщо при переході аргументу через критичну точку похідна змінює знак, то ця критична точка є точкою екстремума. При цьому, якщо похідна змінює знак з плюса на мінус (з мінуса на плюс), то критична точка є точкою максимума (мінімума).
Доведення.
Попередні теореми дозволяють сформулювати наступну схему дослідження функції на монотонність та екстремуми:
-
Знайти область визначення функції.
-
Знайти похідну та її критичні точки.
-
Критичними точками розбити область визначення на інтервали, кінцями яких є кінці області визначення та критичні точки.
-
Визначити знак похідної на цих інтервалах.
-
Зробити висновок про монотонність та екстремуми.
Відмітимо, що результати досліджень зручно оформляти у вигляді таблиці.
Приклад. Дослідити функцію на монотонність та екстремуми.
Розв’язування. 1. .
2. . Похідна визначена при всіх , тому серед критичних будуть лише точки, в яких похідна дорівнює нулю: .
3., 4.
на інтервалі ;
на інтервалі ;
на інтервалі .
5. Функція спадає на інтервалах та , а на інтервалі функція зростає. В точці екстремуму немає. Точка - точка мінімуму функції, причому .