- •3. Матрицы
- •3.22. Решите матричное уравнение:
- •4. Системы линейных уравнений
- •5. Задачи на отыскание собственных значений и собственных векторов матриц
- •5.5. При каком значении параметра матрица имеет собственный вектор , соответствующий собственному значению ?
- •5.8. Проверьте, что вектор является собственным вектором матрицы и найдите соответствующее ему собственное значение .: , .
- •6. Предел последовательности.
- •7. Предел функции.
- •8. Производная функции
- •10. Графики функций
- •11. Интеграл
- •13. Частные производные. Градиент. Производная по направлению.
- •14. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.
- •16. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
- •17. Локальный условный экстремум функции нескольких переменных.
3. Матрицы
3.9. Найдите ранг системы векторов и укажите какой-нибудь базис в этой системе векторов
а) , , , ;
б) , , ,
в) , , ,
г) , , ,
3.21. Найдите значения параметров , и , при которых матрицы и являются обратными:
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , .
3.22. Решите матричное уравнение:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ; ж); з)
и) ; к)
Ответы: 3.21. а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , . 3.22. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) - ???; з) ; и) ; к) .
4. Системы линейных уравнений
4.1. Решите систему уравнений:
а) ; б) ; в) ; г) .
4.2. Найдите фундаментальную систему решений:
а) ; б) ; в) ; г)
4.3. Найдите фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений. Запишите ответ в векторном виде. а) ;
б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) .
4.6. Представьте общее решение в виде суммы частного решения и общего решения соответствующей однородной системы
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и)
4.7. При каких значениях параметра a однородная система линейных уравнений, заданных матрицей , имеет ненулевое решение?
Ответы: 4.1. а) , , ; б) , , ; в) , , ;
г) , , ; 4.2. а) ; г) .
4.3. а) ; з) .
4.6. а) ; и) . 4.7. .
5. Задачи на отыскание собственных значений и собственных векторов матриц
5.2. Найдите , где - угол между собственными векторами, соответствующими различным собственным значениям: а) ; б) ; в) ; г) .
5.3. Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы:
а) ; б) ; в) ; г) .
5.4. При каком значении параметра матрица имеет собственный вектор , соответствующий собственному значению ?
5.5. При каком значении параметра матрица имеет собственный вектор , соответствующий собственному значению ?
5.7. Проверьте, что вектор является собственным вектором матрицы и найдите соответствующее ему собственное значение : , .
5.8. Проверьте, что вектор является собственным вектором матрицы и найдите соответствующее ему собственное значение .: , .
Ответы: 5.2. а) ; б) ; в) ; г) . 5.3. а) , ; , , ; б) , , ; , ; в) , ; , , ; , ; г) , ; , , ; , .
5.4. . 5.5. . 5.7. .5.8. .
6. Предел последовательности.
Вычислите пределы: 6.1 ; 6.2 ;
6.22 ; 6.23 ;
6.27 ; 6.28 ; 6.29 ;
Ответы: 6.1 ; 6.2 ; 6.22 ; 6.23 ; 6.27 ;6.28 ; 6.29 ;
7. Предел функции.
7.1 Вычислите пределы
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
7.3 Вычислите пределы, используя замены на эквивалентные
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л) ; м) ; н) ;
о) ; п) ; р) ; с) ;
т) ; у) ; ф) ;
x) ; ц) .
Ответы: 7.1 а) ; б) ; в) : г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) . 7.3 а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) ; т) ; у) ; ф) ; х) ; ц) .
8. Производная функции
Напишите уравнение касательной к графику функции, заданной параметрически, в точке, соответствующей :
8.22 , , ; 8.23 , , ;
8.30 Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (1;1) к графику функции , заданной неявно .
8.31 Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (2;1) к графику функции , заданной неявно .
8.33 Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной неявно .
8.35 Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(1;1) к графику функции , заданной неявно .
Ответы: 8.22 ; 8.23 ; 8.30 ; 8.31 ;
8.33 ; 8.35 ;