14. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.
14.9. Найдите
вторые дифференциалы а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
14.10. Найдите
точки, в которых
если
а)
;
б)
;
в)
.
14.11. Найдите
точки, в которых дифференциал функции
равен нулю
а)
;
б)
.
14.12.
Дана дифференцируемая функция двух
переменных
.
Известно, что
,
,
,
при этом А(2; 6), B(2;
6,01), C(2,02;
6). Найти приближенно частные производные
точке в A.
В ответе укажите значение производной
по направлению вектора .
14.13.
Дана дифференцируемая функция двух
переменных
.
Известно, что
,
,
,
при этом А(3; 7), B(3;
7,01), C(3,02;
7). Найти приближенно частные производные
в точке A.
В ответе укажите значение производной
по направлению вектора
.
14.14. Дана
дифференцируемая функция двух переменных
.
Известно, что
,
,
,
при этом А(3; 6), B(3;
6,01), C(3,02;
6). Найти приближенно частные производные
точке в A.
В ответе укажите значение производной
по направлению вектора
.
14.15. Напишите
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
14.16. Напишите
ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности
в точке
.
14.17. Напишите
ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности
в точке
.
14.18. Напишите
ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности
в точке
.
14.19. Напишите
ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности
в точке
.
14.20. Напишите
ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности
в точке
.
14.21. Напишите
ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности
в точке
.
Ответы: 14.10. а)
;
б)
,
; в)
;
14.11. а)
,
;
б)
,
,
.;14.12.
0; 14.13. 24/5;
14.14. 0;14.15.
,
;
14.16.
,
;
14.17.
,
;
14.18.
,
;
14.19.
,
;
14.20.
,
;
14.21.
,
;
16. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Найдите локальные экстремумы функций
16.1.
;
16.2.
;
16.3.
;
16.4.
;
16.5.
;
16.6.
;
16.7.
;
16.8.
;
16.9.
;
16.10.
;
16.11.
;
16.12.
;
16.13.
;
16.14.
;
16.15.
;
16.16.
;
16.17.
;
16.18.
.
Ответы: 16.1.
- max;
16.2.
-
max;
16.3. (1,
2) – нет экстремума, (-1, 2) –max;
16.4. (0, 0) –нет
экстремума, (1/6, 1/6) –min;
16.5. (2, -3) --
max;
(2, 3)-- нет экстремума; 16.6.
(0, 0) – нет
экстремума, (2/3, 1/3) –min;
16.7. (3,
2) – min,
(-3, -2) – max;
16.10.
-- min;
-- нет экстр;16.11.
-- min;
-- нет экстр; 16.12.
-- min;
-- нет экстр.
16.13.
-- min;
-- нет экстр; 16.14.
(7, -2, 1) – min,
(7, -2, -1) – нет экстремума; 16.15
(1, 0, -2) – max,
(1, 0, 2) – нет экстремума; 16.16.
(2, 1, -3) – min,
(2, 1, 3) – нет экстремума; 16.17.
(3, 1, 2) – max,
(3, 1, -2) – нет экстремума; 16.18.
(2, -6, 1) – min,
(0, 0, 1) – нет экстремума.
17. Локальный условный экстремум функции нескольких переменных.
17.1. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при
.
17.2. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при
.
17.3. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при
.
17.4. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при
.
17.5. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при условии
.
17.6. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при условии
.
17.7.Найдите
условные локальные экстремумы функции
при условии
.
17.8. Найдите
условные локальные экстремумы функции
при условии
.
17.9. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.10. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.11. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.12. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.13. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.14. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.15. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.16. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
17.17. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.18. Используя
метод Лагранжа, найдите условные
локальные экстремумы функции
при условии
.
17.19. Найдите
наиб. и наименьшее значения функции
при условии
.
17.20 Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции
при условии
.
17.21. Найдите
наиб. и наименьшее значения функции
при условии
.
17.22. Найдите
наиб. и наименьшее значения функции
при условии
.
17.24. Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции
в области, ограниченной осями координат
и прямой
.
17.25. Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции
в области, ограниченной осями координат
и прямой
.
Ответы: 17.1.
(1, 1), (-1, -1) – max,
(-1, 1), (1, -1) – min;
17.2.
(2, -3) – max,
(-2, 3) – min;
17.4.
(-4, -1) – max,
(4, 1) – min;
17.5.
(1, 1) – max, (-1, -1) – min; 17.6.
(2,
-3) – max, (-2, 3) – min; 17.7.
(4, 1) – min, (-4, -1) – max; 17.8.
(1, 1) (-1, -1) – max, (-1, 1) (1, -1) – min; 17.9.
(0, 2) – min, (4/3, 2/3) – max; 17.10.
(2, 1) – max; 17.11.
(3, 0) – min,(1, 2) – max; 17.12.
(2, 4) – max; 17.13.
(-5, 4) – min, (5, -4) – max; 17.14.
(-4, 1) – min, (4, -1) – max; 17.15.
(6, 1) – min, (-6, -1) – max; 17.16.
(1,
1) – min, (-1, -1) – max;
17.17.
(0, -1) – min,
(0, 1) – max;
17.18. (3, 1) –
min,
(-3, -1) – max;
17.24.
наибольшее значение
,
наименьшее значение
;
17.25.
наибольшее значение: 6, наименьшее
значение: -1.