3. Матрицы
3.9. Найдите ранг системы векторов и укажите какой-нибудь базис в этой системе векторов
а)
,
,
,
;
б)
,
,
,
в)
,
,
,
г)
,
,
,
3.21. Найдите
значения параметров
,
и
,
при которых матрицы
и
являются
обратными:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
.
3.22. Решите матричное уравнение:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
и)
;
к)
Ответы: 3.21. а)
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
;
г)
,
,
.
3.22. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
- ???; з)
;
и)
;
к)
.
4. Системы линейных уравнений
4.1. Решите систему уравнений:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4.2. Найдите фундаментальную систему решений:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
4.3.
Найдите фундаментальную систему решений
однородной системы линейных уравнений.
Запишите ответ в векторном виде. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
4.6. Представьте общее решение в виде суммы частного решения и общего решения соответствующей однородной системы
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
4.7.
При каких значениях параметра a
однородная
система линейных уравнений, заданных
матрицей
,
имеет ненулевое решение?
Ответы: 4.1.
а)
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
;
г)
,
,
;
4.2.
а)
;
г)
.
4.3.
а)
;
з)
.
4.6.
а)
;
и)
.
4.7.
.
5. Задачи на отыскание собственных значений и собственных векторов матриц
5.2. Найдите
,
где
-
угол между собственными векторами,
соответствующими различным собственным
значениям: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.3. Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.4. При
каком значении параметра
матрица
имеет собственный вектор
,
соответствующий собственному значению
?
5.5. При каком значении параметра матрица имеет собственный вектор , соответствующий собственному значению ?
5.7.
Проверьте,
что вектор
является собственным вектором матрицы
и найдите соответствующее ему собственное
значение
:
,
.
5.8. Проверьте, что вектор является собственным вектором матрицы и найдите соответствующее ему собственное значение .: , .
Ответы: 5.2. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.3. а)
,
;
,
,
;
б)
,
,
;
,
;
в)
,
;
,
,
;
,
;
г)
,
;
,
,
;
,
.
5.4.
.
5.5.
.
5.7.
.5.8.
.
6. Предел последовательности.
Вычислите пределы:
6.1
;
6.2
;
6.22
;
6.23
;
6.27
;
6.28
;
6.29
;
Ответы: 6.1
;
6.2
;
6.22
;
6.23
;
6.27
;6.28
;
6.29
;
7. Предел функции.
7.1 Вычислите пределы
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
7.3 Вычислите пределы, используя замены на эквивалентные
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
;
р)
;
с)
;
т)
;
у)
;
ф)
;
x)
;
ц)
.
Ответы: 7.1 а)
;
б)
;
в)
:
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
7.3 а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
;
р)
;
с)
;
т)
;
у)
;
ф)
;
х)
;
ц)
.
8. Производная функции
Напишите уравнение
касательной к графику функции, заданной
параметрически, в точке, соответствующей
:
8.22
,
,
;
8.23
,
,
;
8.30 Напишите
уравнение касательной, проведенной в
точке (1;1) к графику функции
,
заданной неявно
.
8.31 Напишите
уравнение касательной, проведенной в
точке (2;1) к графику функции
,
заданной неявно
.
8.33 Напишите
уравнение нормали, проведенной в точке
M(2;1)
к графику функции
,
заданной неявно
.
8.35 Напишите
уравнение нормали, проведенной в точке
M(1;1)
к графику функции
,
заданной неявно
.
Ответы: 8.22
;
8.23
;
8.30
;
8.31
;
8.33
;
8.35
;