Задания для самостоятельной работы
Проинтегрировать уравнения Эйлера.
61.
.
62.
.
63.
.
64.
.
65.
.
66.
.
67.
.
68.
.
69.
.
70.
.
Привести уравнения к уравнениям с постоянными коэффициентами и найти их решения.
71.
.
72.
.
73.
.
74.
.
4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
Среди уравнений высших порядков, часто встречающихся в различных приложениях, важное место занимают дифференциальные уравнения второго порядка
, (84)
где
- непрерывные на отрезке (a,b)
функции. С помощью замены
(85)
уравнение (84) можно привести к каноническому виду
, (86)
где
. (87)
Функция (87) называется инвариантом уравнения (84).
Пример 43. Представить уравнение:
в канонической
форме.
▲ В соответствии с формулой (85) вид замены для исходного уравнения будет выглядеть так:
.
В результате такой замены исходное уравнение преобразуется в уравнение вида:
,
где
.▲
4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
Дифференциальное уравнение второго порядка с помощью определенной замены искомой функции можно привести к виду, не содержащему первой производной. Например, уравнение вида
,
которое называется
уравнением Чебышева, приводится к
однородному линейному уравнению, не
содержащему первой производной путем
замены аргумента х по формуле
,
а именно к уравнению вида:
,
общее решение которого имеет вид
.
Исходя из этого, общее решение уравнения Чебышева будет выглядеть так:
.
Рассмотрим уравнение второго порядка вида
.
Такое уравнение можно путем замены независимой переменной вида
можно привести к виду
,
а затем с помощью замены
,
в последнем уравнении можно избавится от первой производной. Такое преобразование называется преобразованием Лиувилля.
Уравнение вида (84) иногда можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены
.
Пример 44.
Решить уравнение:
.
▲ Для начала,
положим
,
и подберем функцию
так, чтобы после замены в полученном
уравнении отсутствовал член с первой
производной. Тогда вычислив производные
,
и подставив их в исходное уравнение, получим
.
(*)
Для того, чтобы выполнялось поставленное условие, а именно, в этом уравнении отсутствовал член с первой производной необходимо, чтобы
,
откуда определим
.
Подставив эту функцию в уравнение (*), получим уравнение:
.
Это однородное
линейное уравнение с постоянными
коэффициентами. Составим характеристическое
уравнение
и найдем его корни:
.
Следовательно, общее решение будет
иметь вид:
,
а так как в силу
нашего предположения о том, что t
=
,
то решение исходного уравнения будет
иметь вид:
.▲
Задания для самостоятельной работы
Заменой независимой переменной избавится от члена с первой производной, а где необходимо произвести замену искомой функции, и проинтегрировать уравнения.
75.
.
76.
.
77.
.
78.
.
79.
.
80.
.
4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
Любое уравнение второго порядка
(88)
с непрерывными на (a,b) коэффициентами можно привести к так называемой самосопряженной форме
. (89)
Для этого необходимо уравнение (88) привести к виду
, (881)
а уравнение (89) развернуть и привести к виду
. (891)
Затем, приравняв
коэффициенты при
в уравнении (881) и (891)
,
можно найти р(х)
.
Далее приравнивая коэффициенты при у в уравнении (881) и (891)
,
Найдем коэффициент q(x)
. (90)
Подставив в уравнение (89) значения найденных коэффициентов р(х) и q(x), приведем исходное уравнение к самосопряженной форме.
Пример 45. Привести уравнение к самосопряженной форме:
.
▲ Сравнивая коэффициенты данного уравнения с коэффициентами самосопряженного уравнения
,
получаем соотношения
.
Из первого соотношения находим
,
а из второго
.
Следовательно,
при
исходное уравнение представимо в
самосопряженной форме.
=0.▲