Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами

1. Записать характеристическое уравнение (47).

2. Найти корни характеристического уравнения.

3. Пользуясь правилами 1-3, выписать общее решение уравнения в зависимости от типа корней.

Пример 22. Найти общее решение уравнения: .

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение: .

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Поскольку корни действительные и различные, то по правилу 1 им ставятся в соответствие функции , которые составляют фундаментальную систему линейно независимых решений исходного уравнения. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 23. Найти общее решение уравнения:

.

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

.

После преобразований это уравнение можно привести к виду:

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1 и 2:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

В пункте 3 нашего решения мы утверждали, что наша фундаментальная система состоит из линейно независимых решений. Проверим, соответствует ли это утверждение действительности.

Проведем доказательство того, что наши частные решения являются линейно независимыми в любом интервале изменения х, от противного, положим, что выполняется тождество:

.

Разделим это тождество на е^х:

,

дифференцируем:

.

Делим на e^-2x :

,

и еще раз дифференцируем:

.

Делим полученное тождество на :

.

Это тождество может выполняться только при условии:

Отсюда вытекает, что , а это противоречит нашему предположению, что . Следовательно, решения, составляющие фундаментальную систему, являются линейно независимыми. ▲

Пример 24. Найти общее решение уравнения:

.

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

.

2. Это характеристическое уравнение имеет корни:

.

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные, причем комплексные корни являются кратными. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1, 2 и 3. Корню соответствует решение , а каждому из двукратных корней и , отвечают решения: Совокупность этих пяти решений - образует фундаментальную систему линейно независимых решений. Следовательно, общее решение запишется так:

.▲

4.2.2. Неоднородные линейные уравнения

Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (54)

Рассмотрим методы интегрирования таких уравнений.

1. Один из первых методов, с помощью которого может быть найдено частное и общее решение уравнения (54), является метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа. Этот метод уже описан в п. 4.2.1, поэтому останавливаться на его описании не будем, а запишем алгоритм нахождения частного решения этим методом и рассмотрим пример.