4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

4.2.1. Однородное уравнение

Рассмотрим однородное уравнение вида

, (44)

в котором коэффициенты - постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех х и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Общее решение уравнения (44) имеет вид (35)

где - произвольные постоянные, и определено в области (36)

a < x < b, < +, < +, …, < +.

Рассмотрим метод нахождения общего решения уравнения (44), который предложил Эйлер. Суть его заключается в том, что частное решение уравнения (44) ищется в виде

, (45)

где  - некоторое вещественное или комплексное постоянное число, подлежащее определению.

Подставляя (45) в уравнение (44), будем иметь

, (46)

поделив это уравнение на , получим алгебраическое уравнение вида

, (47)

которое называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (44).

Структура фундаментальной системы решений , а также общего решения уравнения (44) зависит от вида корней характеристического уравнения (47).

Рассмотрим правила построения фундаментальной системы, а также позволяющие решить задачу нахождения общего решения однородного уравнения.

Правило 1. Если все корни характеристического уравнения (47) различные и действительные числа, то есть , то соответствующее им частные решения

образуют фундаментальную систему, следовательно, общее решение уравнения (44) в этом случае имеет вид:

, (48)

где - произвольные постоянные.

Правило 2. Корни характеристического уравнения (47) различные и среди них имеются комплексные, то есть .

Соответствующее корню решение принимает мнимую форму:

.

Чтобы освободиться от мнимой формы, преобразуем это решение по формуле Эйлера:

.

Отсюда получаем два линейно независимых частных решения уже в вещественной форме:

и . (49)

Таким образом, корням в формуле общего решения уравнения (44) соответствует выражение вида

, (50)

так как сопряженный корень не дает новых решений, не содержащихся в формуле (50).

Если корни характеристического уравнения чисто мнимые: , то соответствующими независимыми частными решениями будут

.

Следовательно, корням в формуле общего решения уравнения (44) соответствует выражение вида

, (51)

где - произвольные постоянные.

Правило 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные.

3.1. Пусть среди корней характеристического уравнения есть равные действительные корни , то корню ₁ кратности k соответствуют k линейно независимых частных решения

,

а соответствующая компонента общего решения уравнения (40) имеет вид:

, (52)

где - произвольные постоянные.

3.2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень кратности k, а это значит, что есть также и сопряженный ему корень той же кратности. В этом случае паре корней соответствуют 2k линейно независимых частных решения:

Следовательно, соответствующая компонента общего решения уравнения (44) имеет вид:

, (53)

где и - произвольные постоянные.