- •1. Основные понятия
- •2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п-го порядка
- •2.1. Дифференциальное уравнение вида
- •2.2. Дифференциальное уравнение вида
- •2.3. Дифференциальные уравнения вида
- •2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
- •3.1. Уравнения вида
- •3.2. Уравнение вида
- •3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
- •3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
- •3.5. Уравнения, приводимые к виду
- •4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
- •4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.1. Однородное уравнение
- •Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.2. Неоднородные линейные уравнения
- •Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
- •4.3.1. Уравнения Эйлера
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
- •4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
- •4.4.4. Краевая задача для уравнения 2-го порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение уравнений второго порядка с помощью рядов
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Метод малого параметра.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные работы
- •Ответы к заданиям для самостоятельной работы
- •Список использованных источников
2.2. Дифференциальное уравнение вида
Дифференциальное уравнение вида можно проинтегрировать, используя для этого замены
. (10)
Далее принимая во внимание, что
,
найдем:
. (11)
Функцию у можно найти из уравнения способом, описанным в п. 2.1.
Пример 7. Найти общее решение уравнения:
.
▲ Это уравнение вида при п = 3. Следовательно, можем ввести замены:
,
откуда . Интегрируя последнее уравнение, находим:
.
Для получения функции у воспользуемся уравнением . Тогда , откуда
.
Интегрируя еще раз, получим:
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения, представленное в параметрической форме имеет вид:
.▲
Для решения уравнения вида можно применить и другой способ, заключающийся в том, что вводится новая функция от х: , согласно формулы . После ее подстановки исходное уравнение приводится к уравнению 1-го порядка:
,
разрешая которое, находим . Функция у находится из уравнения последовательным интегрированием.
Пример 8. Найти общее решение уравнения: .
▲ Это уравнение вида . Полагая в нем , получим уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными:
,
общее решение которого имеет вид:
.
Следовательно ▲
2.3. Дифференциальные уравнения вида
Пусть заданные функции удовлетворяют уравнению вида . Тогда уравнение вида можно проинтегрировать. Действительно, имеем,
(12)
или, если ввести обозначение , то
. (13)
Из первого уравнения находим
(14)
Используя второе уравнение, получаем
. (15)
Если положить , то предыдущее уравнение примет вид уравнения Бернулли
, (16)
которое с помощью подстановки сводится к неоднородному линейному уравнению:
. (17)
Выписать решение этого уравнения можно, используя формулу Эйлера:
. (18)
Далее, используя , найдем . После чего, подставив в , мы сможем найти х:
. (19)
Для получения функции интегрируем раза уже известным способом уравнение .
Таким образом, получаем общее решение рассматриваемого уравнения в параметрической форме.
Пример 9. Найти общее решение уравнения: .
▲ Это уравнение вида при п = 2. Используя замену (12) будем иметь:
где . Тогда уравнение (16) принимает вид
,
где , и, которое можно свести к линейному уравнению с помощью замены :
Для решения этого неоднородного линейного уравнения воспользуемся формулой Эйлера (18):
,
откуда
.
Поскольку , то можно найти х:
.
Полученная функция х будет иметь разные значения в зависимости от значения произвольной постоянной С1. Например, если С1 > 0, то
,
если С1 < 0, то
,
если С1 = 0, то
Функцию у найдем из уравнения с учетом того, что ,
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения в параметрической форме будет иметь вид:
.▲
2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
Если в уравнении
(20)
левая часть является точной производной от некоторой функции , т. е.
то
(21)
будет первым интегралом уравнения (20). В ряде случаев может случится так, что уравнение (21) также будет уравнением в точных производных. Тогда найдем второй интеграл уравнения (20).
Пример 10. Найти общий интеграл уравнения: .
▲ Так в левой части у каждой из дробей в числителе стоит производная от знаменателя, то можно исходное уравнение записать в виде:
.
Мы видим, что полученное уравнение является уравнением в точных производных, и оно имеет первый интеграл
или .
Интегрируя это уравнение, найдем
.
Это есть общий интеграл исходного уравнения. ▲
Если уравнение (20) не является уравнением в точных производных, то можно подобрать такую функцию , после умножения на которую, уравнение (20) становится уравнением в точных производных.
Пример 11. Рассмотрим уравнение из примера 9.
▲ Если помножить это уравнение на , то получим
.
Из этого уравнения видно, что его правая и левая части есть точные производные
,
откуда интегрированием можно найти
или
.
Интегрируя это уравнение получим при разных значениях С1 решение исходного уравнения в явном виде. Например, если С1 > 0, то
,
если С1 < 0, то
,
если С1 = 0, то
.▲
Пример 12. Найти решение уравнения: .
▲ Если умножить обе части этого уравнение на , то получим
.
Из этого уравнения видно, что его правая и левая части есть точные производные
,
поэтому, интегрируя это уравнение, находим:
.
Из уравнения выразим:
. ()
Далее предположим, что , а . Из первого уравнения найдем:
.
Подставив полученное уравнение, а также уравнение в (), получим:
.
Из уравнения найдем
с учетом того, что , окончательно можно записать общее решение исходного уравнения:
.▲