Практическое занятие 1

Векторная алгебра
1. Векторы, базисы, координаты
№	Задание		Ответ
1	В треугольнике разложите биссектрису по базису векторов и . РЕШЕНИЕ: Пусть , , лежит на стороне . , где . Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника и тем, что . Отсюда следует, что .
2	Докажите, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении считая от вершины. РЕШЕНИЕ: Пусть – середина стороны , – середина стороны . Отложим на медиане расстояние от вершины и поставим точку . Тогда . Отложим от вершины по медиане расстояние и поставим точку . Найдем координаты вектора в базисе векторов и . Но это координаты вектора . Таким образом, точка и точка совпадают, это точка пересечения медиан, и она делит медианы и в отношении считая от вершины.
3	В треугольнике через обозначена точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов . РЕШЕНИЕ: Обозначим ,, . Из рисунка по свойству медиан получаем, что .
4	Точки и – середины сторон и четырехугольника . Докажите, что . Выведите теорему о средней линии трапеции. РЕШЕНИЕ: , , , , . Если - трапеция, стороны и параллельны, тогда - свойство средней линии трапеции.
5	На стороне и диагонали параллелограмма взяты соответственно точки и так, что и . Докажите, что точки , и лежат на одной прямой и определить отношение отрезков и. Доказательство: Пусть , .Тогда . . . Отсюда , , то есть точки , , лежат на одной прямой.
6	Задан тетраэдр . В базисе из ребер , и найдите координаты вектора , где – точка пересечения медиан основания . РЕШЕНИЕ: Воспользуемся правилом треугольника:. – середина ребра ; точка находится на расстоянии длины медианы от вершины . . Подставим в : , =.
7	В пространстве заданы треугольники и ; и – точки пересечения медиан этих треугольников соответственно. Разложите вектор по базису векторов , , . РЕШЕНИЕ: Пусть – середина стороны , – середина стороны . . Найдем: ; ; ;; ; ; . После последовательных подстановок то есть =.
2. Декартов прямоугольный базис. Направляющие косинусы и координаты
8		В трапеции с основаниями и известны векторы , , . Найдите сумму координат вектора , где и - середины сторон и . РЕШЕНИЕ: , . .		3
9		Даны точки ,,. Найдите сумму координат точки , если РЕШЕНИЕ: , , . . Сумма координат равна (- 6).		- 6
10		Дан модуль вектора и углы , и , которые он составляет с координатными осями , и соответственно. Вычислите проекции вектора на координатные оси. РЕШЕНИЕ: ; ; . =
11		Даны векторы и . Вычислите направляющие косинусы вектора . РЕШЕНИЕ: . . ; ; .		, ,
12		Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: , , ? РЕШЕНИЕ: Для направляющих косинусов выполняется равенство . Проверим его справедливость. равенство выполняется.		да
13		Даны точки , , . Найдите длину медианы треугольника . РЕШЕНИЕ: Координаты точки (середины ) , , .		7
14		Коллинеарны ли векторы и , построенные на векторах и , если , , , ? РЕШЕНИЕ 1: Пропорциональность компонент не выполняется, векторы неколлинеарны. РЕШЕНИЕ 2 Векторы : и неколлинеарны, т.е. образуют базис. Векторы и неколлинеарны, так как их координаты в этом базисе не пропорциональны: .		нет
3. Скалярное произведение векторов
15		Найдите а) и б) , если , , . РЕШЕНИЕ: а)		а) , б)
16		Найдите , если , . РЕШЕНИЕ:
17		Найдите косинус угла между векторами и , если , , . РЕШЕНИЕ:		- 1
18		Вычислите синус угла, образованного векторами и . РЕШЕНИЕ: Найдем косинус нужного угла: Так как угол между векторами ,
19		Покажите, что сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4. РЕШЕНИЕ: Пусть , . Тогда . Находим медианы треугольника: , . Осталось найти требуемое отношение:
20		Покажите, что четырехугольник ромб, если , , , . Найдите угол при вершине ромба. РЕШЕНИЕ: ; ; ; ; ; ; . и – ромб., .
21		Докажите, что вектор перпендикулярен вектору . РЕШЕНИЕ: .
22		Докажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифагора. Доказательство: а) Рассмотрим треугольник , построенный на векторах и . Пусть третья сторона . Тогда , , ч.т.д. б) При получаем теорему Пифагора.
23		Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. РЕШЕНИЕ: Пусть и – стороны ромба. и - его диагонали. так как для ромба , и диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
4. Векторное произведение векторов
24		Найдите а) и б) , если , , . Решение: а) ; б) так как ,		а) , б)
25		Найдите , если , . Решение: .
26		Найдите вектор , если , , . Решение: , , .
27		Упростите выражение: , где - базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат. Решение: Для справедливо: , так как - левая тройка, , так как - левая тройка. Тогда , , , и искомая сумма равна .
28		Векторы , , , связаны соотношением , . Докажите, что векторы и коллинеарны. Доказательство: Найдем значит, эти векторы коллинеарны.
29		Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , , , . Решение: =< так как , , >= .
30		В треугольнике с вершинами , , найдите высоту . Решение: Площадь . Найдем , . . .		5
31		Найдите расстояние от точки с координатами до прямой, проходящей через точки и . Решение: Построим треугольник и опустим высоту из вершины на основание (или его продолжение). Тогда искомое расстояние равно , и задача свелась к предыдущей.		5
32		Докажите, что в треугольнике с биссектрисой выполняется соотношение . Доказательство: 1) ; 2) . Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.
5. Смешанное произведение векторов
33		Докажите, что при любых векторы , , компланарны. Доказательство: Вычислим , это означает, что векторы компланарны.
34		Докажите тождество . Доказательство: .
35		Даны векторы , , . а) вычислите объем параллелепипеда, построенного на этих векторах; б) вычислите объем тетраэдра, построенного на этих векторах; в) определите, будут ли векторы , , компланарны; г) определите, образует ли тройка , , базис в трехмерном пространстве; д) определите, будет ли тройка правой. Решение: а). . б). . в). Так как , векторы некомпланарны. г). Образуют базис в трехмерном пространстве. д). , значит, тройка – левая.		7, , нет, да, левая
36		В тетраэдре с вершинами в точках , , , вычислите высоту . Решение: , , . ; ;
37		Найдите расстояние от плоскости, проходящей через точки , , до точки . Решение: Построим тетраэдр и найдем его высоту , как в предыдущей задаче.
38		Длины базисных векторов в пространстве равны соответственно , а углы между ними: . Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты , , . Решение: Осталось найти . Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ох была направлена по лежал в плоскости , тогда , . Найдем . Предположим, что он имеет декартовые координаты . Воспользуемся известными углами между векторами , , и их длинами: ; ; . С другой стороны, , . Так как . Тогда , .
39		Дайте алгебраическое доказательство того, что смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю. Доказательство: Даны три компланарных вектора , , . Докажем, что . Если коллинеарен . Если неколлинеарен , то они образуют базис на плоскости, поэтому в силу компланарности , , имеем . Найдем .
40		Докажите, что четыре точки , , , , лежат в одной плоскости. Доказательство: Точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, то есть . Вычислим , что и требовалось доказать.
41		Дан параллелограмм . Докажите, что его площадь в два раза меньше площади параллелограмма , противоположные стороны которого соответственно параллельны и равны диагоналям и исходного параллелограмма. Доказательство: Если , то. . Диагонали параллелограмма равны и . .