Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный технический университет - УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Кафедра высшей математики

Курс высшей математики

для бакалавров

Учебное пособие

Дисциплина: ЕН.Ф.01 Математика. алгебра и геометрия

Модуль 2: Векторная алгебра. Геометрия: аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

(1 зачетная единица)

Екатеринбург

2009

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный технический университет - УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Кафедра высшей математики

Дисциплина: ЕН.Ф.01 Математика. алгебра и геометрия

Модуль 2: Векторная алгебра. Геометрия: аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

(1 зачетная единица)

Учебное пособие

Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук Л.П.Мохрачева

Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ-УПИ

Екатеринбург

2009

УДК 512.643(075.8)

ББК 22.143я 73

М 33

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета;

доктор физ. - мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, Л.Ю.Трояновская, И.Н.Кассандров

М 33 Дисциплина: ЕН.Ф.01 Математика. алгебра и геометрия

Модуль 2: Векторная алгебра. Геометрия: аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

(1 зачетная единица): учебное пособие / А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, Л.Ю. Трояновская, И.Н. Кассандров. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2009. 173 с.

ISBN 5-321-00633-4

Данное пособие представляет собой вторую часть курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.

Содержание пособия охватывает следующие разделы программы: векторная алгебра, аналитическая геометрия в пространстве, на плоскости, кривые второго порядка, поверхности.

Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, текст домашнего задания, титул и текст индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.

Подготовлено кафедрой высшей математики

УДК 512.643(075.8)

ББК 22.143я 73

ISBN 5-321-00633-4 © ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ», 2009

Оглавление

ТЕОРИЯ

I. Векторная алгебра

1. Определение вектора…………………………………………………………………..……5

2. Линейные операции над векторами и их свойства………………………………………..5

3. Базис и координаты…………………………………………………………………………6

4. Скалярное произведение векторов…………………………………………………………9

5. Векторное произведение векторов………………………………………………………..10

6. Смешанное произведение векторов………………………………………………………12

II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Уравнения поверхностей и линий…………………………………………………………14

2. Плоскость в пространстве………………………………………………………………….15

3. Прямая линия в пространстве……………………………………………………………...20

4. Прямая и плоскость…………………………………………………………………………23

III.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1. Простейшие задачи на плоскости…………………………………………………………...25

2. Прямая линия на плоскости…………………………………………………………………25

3. Кривые второго порядка……………………………………………………………………..28

4. Преобразования координат…………………………………………………………………..33

5. Линии в полярной системе координат……………………………………………………....38

6. Параметрическое задание линий…………………………………………………………….42

IV. Поверхности второго порядка……………………………………………..........43

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ…………………………………………………………………..50

Задания для самостоятельной работы

Домашние задания……………………………………………………………………………...108

Расчетная работа………………………………………………………………………………..125

Неполные уравнения плоскостей 18

Уравнение плоскости «в отрезках» 18

Нормальное уравнение плоскости 19

Расстояние от точки до плоскости 20

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 20

Угол между двумя плоскостями 21

Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей 21

3. Прямая линия в пространстве 22

Общие уравнения прямой 22

Канонические уравнения прямой 22

Параметрические уравнения прямой 22

Уравнение прямой в виде проекций на координатные плоскости 23

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 23

Угол между двумя прямыми 24

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 24

4. Прямая и плоскость 25

Точка пересечения прямой и плоскости 25

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую 25

Угол между прямой и плоскостью 26

Условия параллельности и перпендикулярности 26

прямой и 26

плоскости 26

1. Простейшие задачи на плоскости 26

Расстояние между двумя точками 26

Деление отрезка в данном отношении 27

Площадь треугольника 28

Уравнения прямой 28

Каноническое уравнение прямой 28

Уравнение прямой, проходящей через две точки 29

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 29

Уравнение прямой в отрезках 30

Нормальное уравнение прямой 30

Расстояние от точки до прямой 30

Координаты точки пересечения двух прямых 30

Угол между двумя прямыми 31

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 31

3. Кривые второго порядка 31

Эллипс 32

Окружность 33

Гипербола 33

Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и 35

определяются уравнениями и . 35

Парабола 35

4. Преобразования координат 36

Параллельный перенос 36

Поворот координатных осей 36

Изменение начала координат и поворот осей 37

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 38

5. Линии в полярной системе координат 41

Связь полярных координат с декартовыми 41

Окружности 42

Спирали 42

Розы 43

Лемниската Бернулли 44

Кардиоида 45

6. Параметрическое задание линий 45

Окружность 45

Астроида 46

Эллипсоид 47

Гиперболоиды 48

Однополостный гиперболоид 48

Двуполостный гиперболоид 52

Параболоиды 53

Эллиптический параболоид 53

Гиперболический параболоид 53

Конус 54

Цилиндры 54

Эллиптический цилиндр 54

Гиперболический цилиндр 55

Параболический цилиндр 55