Практическое занятие 4

Поверхности второго порядка
1	Установите тип поверхности, заданной уравнением Решение: Перенесем константу в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на число 4. Получим Это уравнение задает двуполостный гиперболоид вращения с осью OY.	Дву-полостный гиперболоид
2	Установите тип поверхности, заданной уравнением Решение: Преобразуем уравнение к виду являющемуся канонической формой уравнения параболоида вращения с осью OZ, вершина которого находится в точке (0;0;2), а выпуклость обращена вверх.	Параболоид
3	Установите тип указанной поверхности и постройте ее: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .	1) параболоид вращения; 2) ось oz; 3) две пересекаю-щиеся плоскости ; 4) две плоскости , параллельные плоскости zoy; 5) круговой цилиндр с образующей, параллельной оси oy.
4	Составьте уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида плоскостью Решение: Сечение параболоида плоскостью задается системой уравнений Этой системе соответствует некоторая линия в пространстве. Чтобы найти проекцию этой линии на координатную плоскость OXY, следует исключить из этой системы переменную z. В результате получаем Аналогично находятся остальные проекции. На плоскость OXY: ; На плоскость OXZ: ; На плоскость OYZ: .
5	Составьте уравнение поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси OX. Решение: Сечение искомой поверхности плоскостью перпендикулярной оси вращения, есть окружность с центром в точке радиусом Уравнение этой окружности Для произвольного получаем уравнение поверхности вращения
6	Найдите общие точки поверхности и прямой Решение: Выделим полные квадраты переменных в уравнении поверхности и увидим, что она представляет собой сферу . Перейдем к параметрическим уравнениям прямой Подстановка этих значений переменных в уравнение поверхности приводит к квадратному уравнению для t c отрицательным дискриминантом. Следовательно, действительных значений t не существует, и поверхность не имеет общих точек с прямой, которая проходит вне сферы.	Нет
7	Найдите общие точки поверхности и плоскости . Решение: Общие точки поверхностей удовлетворяют системе Приравнивая значения 2z , выраженные из этих уравнений, получим, что . Выделение полных квадратов переменных приводит к уравнению эллипса , который является проекцией линии пересечения эллиптического параболоида и плоскости на координатную плоскость . Параметрические уравнения эллипса , . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости, получаем . Линия – эллипс.	Эллипс
8	Составьте уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору а направляющая задана уравнениями Решение: Множество точек искомой поверхности образовано точками, лежащими на прямых, проходящих через некоторую точку направляющей параллельно вектору Составим канонические уравнения этих прямых: Здесь M(x;y;z) - произвольная точка прямой, а N(X;Y;1) – фиксированная точка направляющей, через которую проходит прямая, называемая образующей. Отсюда Подставим эти выражения в уравнение , которому удовлетворяют координаты точек направляющей и получим искомое уравнение цилиндрической поверхности:
9	Составьте уравнение конуса с вершиной в точке S(0;0;5) и направляющей Решение: Множество точек искомой поверхности образовано точками, лежащими на прямых, проходящих через некоторую точку направляющей и точку S. Составим канонические уравнения этих прямых Здесь M(x;y;z) - произвольная точка прямой, а N(X;Y;0) – фиксированная точка направляющей, через которую проходит прямая, называемая образующей. Отсюда Подставим эти выражения в уравнение , которому удовлетворяют координаты точек направляющей, и получим искомое уравнение конической поверхности:
10	Составьте уравнение сферы с центром в точке (3,-5,-2), если плоскость касается сферы. Решение: Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы: Уравнение сферы: .
11	Составьте уравнение сферы, проходящей через точки , , , центр которой лежит на плоскости . Решение: Запишем уравнение сферы в виде и подставим в него координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы лежит на плоскости: Раскрывая скобки, получаем Вычитая из третьего уравнения второе и из второго первое, для координат центра сферы получаем равносильную систему откуда и . Уравнение сферы .
12	Методом сечений исследуйте поверхность, заданную уравнением . Решение: Перепишем уравнение поверхности в виде и рассмотрим сечения поверхности плоскостями . В сечении получаются окружности с центром на оси и радиусом . Это позволяет заключить, что поверхность является поверхностью вращения с осью , и точки поверхности существуют при любых значениях . Рассмотрим осевое сечение плоскостью (или ): . Приводя к каноническому виду, имеем – уравнение гиперболы, – действительная ось, – мнимая ось. Итак, поверхность может быть получена вращением гиперболы относительно ее мнимой оси, т.е. поверхность – однополостный гиперболоид вращения, – ось симметрии, – плоскость симметрии.	Однопо-лостный гиперболоид вращения