Вопросы для самопроверки

1. Что называют перестановками?

2. По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?

3. Что называют размещениями?

4. По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов?

5. Что называют сочетаниями?

6. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по m элементов?

7. Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний?

8. В чем отличие между сочетанием из трех элементов по два и размещением из трех элементов по два?

9. Различаются ли понятия перестановки из трех элементов и размещения из элементов по три?

Упражнение

1. Сколькими различными способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из восьми кандидатов?

2. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?

3. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «замок»?

4. Сколькими способами можно выбрать 3 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

5. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

6. Рассматриваются кандидатуры 6 человек, подавших заявление о приеме на работу. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование?

7. На железнодорожной станции имеется 5 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?

8. Для разгрузки товаров требуется выделить 6 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, производя отбор в случайном порядке?

9. Равны ли числа

3. Классическое определение вероятности

Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события. Существует несколько подходов к определению вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 3.1. В опыте с бросанием игральной кости число всех исходов n равно 6 и все они равновозможны. Пусть событие А означает появление четного числа. Тогда для этого события благоприятными исходами будут появление чисел 2, 4, 6. Их количество равно 3. Поэтому вероятность события А равна

Пример 3.2. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Двузначными числами являются числа от 10 до 99, всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, …, 99). Так как в данном случае m=9, n=90, то

где А – событие, «число с одинаковыми цифрами».

Пример 3.3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов. Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными, взять же две нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Тогда искомая вероятность равна

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае значит

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае < m < n, значит 0 < m/n < 1, т. е. 0 < Р(А) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.