Вопросы для самопроверки

1. Чему равна вероятность суммы двух событий?

2. Чему равна вероятность суммы трех событий?

3. Чему равна вероятность суммы п несовместных событий?

4. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

5. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

6. Чему равна вероятность произведения двух событий?

7. Как определяется независимость двух событий?

8. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

9. Чему равна вероятность появления хотя бы одного из m независимых событий, имеющих одинаковые вероятности?

Упражнения

1. Предприятие дает в среднем 25% продукции высшего сорта и 65% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?

2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

4. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

5. В урне 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что три наугад вынутых шара окажутся белыми.

6. Вероятность улучшить свой предыдущий результат для данного спортсмена равна. Найти вероятность того, что спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

7. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места. Как изменится вероятность, если последняя цифра нечетная?

8. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб», «появилось 6 очков».

9. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первого сорта.

10. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз.

7. Формулы полной вероятности и Байеса

Предположим, мы имеем предварительные, априорные значения вероятностей интересующих нас некоторых событий. Затем из источников информации мы получаем дополнительные сведения об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями.

Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одним из событий В₁, В₂, …, В_п, образующих полную группу событий. Тогда вероятность появления события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Здесь – вероятность события B_i, –условная вероятность события А при этом событии.

Так как заранее неизвестно, с каким из событий B_i произойдет событие А, то события B_i называются гипотезами.

Пример 7.1. На сборку попадают детали с трех станков. Первый станок дает 0,1% брака, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 100, со второго – 200 и с третьего – 300 деталей.

Обозначим событие А – поступила бракованная деталь, события B_i (i=1, 2, 3) – деталь изготовлена на i-ом станке. Из условия задачи следует, что

По формуле полной вероятности находим вероятность события А:

Пусть событие А, которое может наступить только вместе с одним из событий В₁, В₂, …, В_п, образующих полную группу несовместных событий, произошло в результате какого-либо опыта. Тогда известные до опыта вероятности P(B₁), P(B₂), …, P(B_n) с учетом появления события А перевычисляются по формуле Байеса

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример 7.2. Статистические данные показывают, что во время активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, во время умеренного роста он подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах роста вероятность подорожания – 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста – 0,3, умеренного роста – 0,5 и низкого роста – 0,2. Предположим, что доллар дорожает в текущий период. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Обозначим событие А – доллар дорожает. Это событие может произойти только вместе с одной из гипотез: В₁ – активный экономический рост, В₂ – умеренный рост, В₃ – низкий рост.

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Требуется найти уточненную (апостериорную) вероятность первой гипотезы, т. е. вероятность активного экономического роста при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(В₁/А). Используя формулу Байеса и подставляя известные значения вероятностей, имеем

Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.