Вопросы для самопроверки

1. Как называется числовая характеристика возможности наступления события?

2. Что называется вероятностью события?

3. Чему равна вероятность достоверного события?

4. Чему равна вероятность невозможного события?

5. В каких пределах заключена вероятность случайного события?

6. В каких пределах заключена вероятность любого события?

7. Какое определение вероятности называется классическим?

Упражнения

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?

2. В урне а голубых и в красных шаров. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.

3. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что произведение выпавших очков равно 5? Какова вероятность того, что абсолютная величина разности выпавших очков равна 2?

4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней:

а) одну; б) две; в) три.

5. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, две определенные книги окажутся поставленными рядом.

6. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 у. е. каждая, три книги – по 1 у. е. и две книги – по 3 у. е. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 у. е.

7. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.

8. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность в следующих случаях:

а) все три детали без дефектов;

б) по крайней мере одна деталь без дефектов?

9. В партии из N изделий М бракованных. Наугад выбирают n изделий. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет m бракованных.

4. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей, и, конечно, использованием аксиоматической вероятности.

Слабая сторона классического определения состоит и в том, что часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными.

По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой где m – число появления события, n – общее число испытаний.

Пример 4.1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем, что определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности. Эта вероятность называется статистической.

Пример 4.2. Английский ученый Пирсон произвел 23000 бросаний монеты. При этом герб появился 11512 раз. Значит относительная частота появления герба равна

Этот пример показывает, что за вероятность появления герба можно взять число 0,5.

Пример 4.3. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 год по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Легко показать, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m=n и относительная частота

,

т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице. Если событие невозможно, то m=0 и, следовательно, относительная частота равна нулю, т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события и, следовательно, относительная частота т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.