Темы вопросов

1. Вектор. Основные понятия. Линейные операции. 2

2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Действия над векторами, заданными проекциями. 4

3. Скалярное произведение векторов и его свойства. 5

4. Векторное произведение и его свойства. 7

5. Смешанное произведение и его свойства. 8

6. Матрицы. Основные понятия. Сложение и разность матриц. 10

7. Матрицы. Основные понятия. Умножение на число и произведение. Элементарные преобразования матриц. 12

8. Определители. Правила вычисления. Ранг матрицы. Свойства ранга. 15

9. Свойства определителей. 19

10. Система линейных алгебраических уравнений. Основная и расширенная матрица. Совместная, несовместная и однородная системы уравнений. 21

1. Вектор. Основные понятия. Линейные операции.

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если А – начало вектора и В – его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней, например, . Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце. Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Длина вектора называется его модулем и обозначается символом ||. Модуль вектора обозначается ||.

Вектор , для которого || = 1, называется единичным. Обозначается .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .

Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления, а начало и конец его совпадают. Обозначается .

Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Они могут быть одинаково или противоположно направлены.

Два векторы и называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут: = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить, помещая его начало в любую точку пространства. Такой вектор называется свободным.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой, или два любые коллинеарны, то эти вектора также компланарны.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается –. Для вектора противоположным будет вектор .

Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и – два свободных вектора (рис. а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор =, затем от точки А отложим вектор =. Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается + (рис. б).

A

O + B

B

O + C

а) б) в)

Определение. Разностью двух векторов и называется третий вектор =–, сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если =–, то += (рис. г).

A

– =

O B

г)

Определение. Произведением (или ) вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||||, и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направлению вектора , если < 0.

Свойства:

1. Если || , то =. Теорема коллинеарности.

2. + = +. Переместительный закон.

3. 

4. 

5.