Темы вопросов

21. Функции. Понятие. Классификация. 2

22. Предел последовательности и его свойства. 3

23. Неопределенный интеграл и его свойства. 5

24. Определенный интеграл и его свойства. 6

25. Случайные события. Действия. Свойства. 8

26. Случайные события. Операции. (Теоретико-множественная трактовка). 10

27. Относительная частота. Свойства. Статистическое и классическое определение вероятности. 11

28. Элементы комбинаторики. Схема выбора без возвращения. 12

29. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением. 13

30. Геометрическое определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности. 14

21. Функции. Понятие. Классификация.

Определение. Пусть X – некоторое числовое множество, в котором каждому элементу x из множества X по какому-либо закону поставлено одно и только одно значение y из множества Y.

Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость y от x по закону .

При этом x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной или функцией, множество X – областью определения функции, а множество Y – областью значений.

Совокупность точек xOy, удовлетворяющих уравнению называется графиком функции. Задать функцию – это значит указать закон, по которому каждому значению из области определения соответствует значение из области значений.

Способы задания функции:

• табличный,

• аналитический (в виде формул – функциональных зависимостей),

• графический.

Следует подчеркнуть, что функция может быть задана и набором функций, например:

Говорят, что не убывает на множестве X, если для любого справедливо условие . Функция не возрастает на множестве X, если для любого справедливо условие . Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Если для любого справедливо условие , то функция называется возрастающей на множестве X. Если для любого справедливо условие , то функция называется убывающей на множестве X. Такие функции называются строго монотонными.

Если на некотором промежутке множества X определена функция с множеством значений z и на этом же множестве определена функция , то функция называется сложной функцией (суперпозицией), а переменная z называется промежуточной.

Классификация элементарных функций:

1. Целая рациональная функция. .

2. Дробно-рациональная функция. .

3. Степенная функция. , где - действительной число.

4. Показательная функция. , где и .

5. Логарифмическая функция. , где и .

6. Тригонометрические функции. , , , .

7. Обратные тригонометрические функции. , , , .

8. Сложная функция. , где .

9. Гармонические колебания. , где A и - положительные постоянные.

10. Обратная функция. для функции .

22. Предел последовательности и его свойства.

Числовые последовательности представляют собой бесконечные упорядоченные множества чисел.

Если каждому числу n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью.

Числа называются элементами (членами) последовательности. Символ называется общим элементом (членом) последовательности, а число n – его номером.

Числовая последовательность обозначается {}.

Геометрически числовые последовательности вещественных чисел изображаются на оси в виде точек, координаты которых равны соответствующим членам последовательности.

Последовательность вещественных чисел {} называется ограниченной сверху, если существует такое число M, что любое этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность вещественных чисел {} называется ограниченной снизу, если существует такое число M, что любое этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Последовательность {} ограничена, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа m и M, что для любого этой последовательности верно неравенство .

Пусть , то для любого .

Последовательность {} – неограничена, если для любого A существует , при котором .

Предел последовательности.

Число a называется пределом {}, если для любого существует такая зависимость , что при любых выполняется неравенство:

(1)

Если предел последовательности равен числу a, это записывается так:

Числовая последовательность {} называется бесконечно большой, если для любого n > 0 существует такой номер , что .

Очевидно, что бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Числовая последовательность {} называется бесконечно малой, если для любого существует такая зависимость , что при , выполняется .

Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

1. Суммой или разностью двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малая последовательность.

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.

Сходящиеся последовательности.

Числовая последовательность {} называется сходящейся, если существует такое число a, что для любого все находящиеся в окрестности элементы этой последовательности начиная с некоторого номера меньше a.

Таким образом, последовательность, имеющая конечный предел, является сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, является расходящейся.

Следствия.

1. Бесконечно большая последовательность не имеет предела.

2. Всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом a = 0.

3. Предел последовательности, у которой все члены равны числу C, где C – константа, равен C.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу C, то предел этой последовательности – C.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Предел суммы двух или нескольких сходящихся последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.

4. Предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению пределов.

5. Предел частного сходящихся последовательностей равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Монотонные последовательности.

(1) возрастающая строго монотонная

(2) неубывающая строго монотонная

(3) убывающая

(4) невозрастающая

Числовая последовательность {} называется возрастающей, если при любом n выполняется условие (1), неубывающей при выполнении условия (2), убывающей при выполнении условия (3), невозрастающей при выполнении условия (4).

Монотонная ограниченная последовательность сходится.