- •1. Вектор. Основные понятия. Линейные операции.
- •2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Действия над векторами, заданными проекциями.
- •3. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •4. Векторное произведение и его свойства.
- •5. Смешанное произведение и его свойства.
- •6. Матрицы. Основные понятия. Сложение и разность матриц.
- •7. Матрицы. Основные понятия. Умножение на число и произведение. Элементарные преобразования матриц.
- •8. Определители. Правила вычисления. Ранг матрицы. Свойства ранга.
- •9. Свойства определителей.
- •10. Система линейных алгебраических уравнений. Основная и расширенная матрица. Совместная, несовместная и однородная системы уравнений.
2. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Действия над векторами, заданными проекциями.
Определение 1. Углом между векторами и называется наименьший угол (), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения этих векторов к общему началу.
Осью называется направленная прямая. Направление прямой на рисунке обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси считается положительным, противоположное – отрицательным.
Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора , расположенного на оси l. Такой вектор называется ортом оси l.
Определение 2. Углом между вектором и осью l называется угол между векторами и .
O l
Определение 3. Проекцией точки А на ось l называется точка , в которой пересекается ось l с плоскостью, перпендикулярной к l, проходящей через точку А.
l
Определение 4. Компонентой (составляющей) вектора на ось l называется вектор , где , соответственно проекции точек A, B на l.
Определение 5. Проекцией вектора на ось l () называется длина его компоненты на ось l, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси l.
Если = 0, то полагают = 0.
Теорема 1. Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l: = .
Свойства:
1.
2.
3. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается символом или (,). Если угол между векторами и равен , то
= .
Через обозначим проекцию вектора на ось с направлением вектора . Так как и , можно записать
= ,
т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.
Раскроем физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа A указанной силы определяется равенством
,
т.е. равна скалярному произведению векторов и .
Свойства:
1. (переместительное свойство);
2. ( называется скалярным квадратом вектора);
3. (распределительное свойство);
4. (сочетательное свойство относительно числового множителя).
Примечание:
-
Два вектора и перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда
= 0.
Скалярное произведение векторов в координатной форме:
Пусть даны два вектора: и , тогда
=
(1)
Условие ортогональности можно представить в виде = 0.
Направляющие косинусы вектора.
Пусть дан вектор . Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ox, Oy и Oz соответственно буквами и . Три числа принято называть направляющими косинусами вектора . Полагая , получаем из (1)
(2)
Аналогично
(3)
. (4)
Из формул (2) – (4) следует:
1) ,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна 1.
2) ,
т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.