3. Составление математических моделей простейших экономических задач

Типичными задачами линейного программирования являются задачи наилучшего использования ресурсов путем оптимального их распределения. Их можно разделить на три группы в зависимости от вида использования ресурсов:

1) задача производственного планирования (задача оптимального использования производственных мощностей и ресурсов);

2) задача на составления смесей (рациона кормов); рациональный раскрой материалов (оптимальное использование сырья и материалов);

3) транспортная задача (оптимальный план перевозок).

Рассмотрим примеры составление моделей экономических задач.

Задача 1 (использование сырья). Кондитерская фабрика для производства двух видов шоколада – черного и молочного использует три вида основного сырья: какао, молоко и сахар. В таблице 1 приведены нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 кг соответствующего шоколада, суточные запасы сырья на складе, а также цена реализации 1 кг шоколада каждого вида. Маркетинговые исследования рынка сбыта показали, что спрос на молочный шоколад превышает спрос на черный шоколад не менее чем в два раза.

Таблица 1.

Виды сырья	Нормы расхода сырья (кг) на производство 1 кг шоколада		Суточные запасы сырья (кг)
	1. Молочный	2. Черный
1. Какао 2. Молоко 3. Сахар	0,3 0,4 0,2	0,5 0,4 0,1	30 36 10
Цена реализации 1 кг шоколада (грн)	40	50

Найти оптимальный план производства (количество шоколада каждого вида), обеспечивающий максимальный доход от реализации.

Составим математическую модель экономической задачи.

1. Выбор переменных. Переменными данной задачи являются суточные объемы производства молочного и черного шоколада. Обозначим их и соответственно.

2. Система ограничений.

В соответствие с таблицей, норма расхода первого вида сырья - какао на производство 1 килограмма первого вида продукции - молочного шоколада равна . Обозначим ее буквой , где первый индекс указывает номер в таблице вида сырья, а второй – номер вида продукции. Тогда, суточный расход сырья-какао на производство молочного шоколада будет равен произведению нормы расхода на суточный объем производства, то есть .

Суточный расход сырья-какао на производство второго вида продукции - черного шоколада будет равен произведению соответствующей нормы расхода на суточный объем производства второго вида продукции, то есть .

Общий расход сырья-какао в сутки будет равен сумме расходов этого сырья на производство всех видов продукции:

.

Этот расход не должен превышать складского запаса данного сырья . Отсюда, получим ограничение, обусловленное складским запасом первого вида сырья - какао:

или .

Аналогично записываются ограничения по складским запасам для второго и третьего видов сырья.

Кроме ограничений по складским запасам, в задаче могут быть присутствовать дополнительные виды ограничений на переменные. В данном случае, это ограничение по спросу, в соответствие с которым спрос на молочный шоколад превышает спрос на черный шоколад не менее чем в два раза. То есть, объем производства молочного шоколада должен превосходить объем производства черного шоколада не менее чем в два раза:

.

Кроме того, объем производства не может быть отрицательной величиной. Если какой-либо вид продукции не производится, то или . Если производится, то и . Отсюда следует ограничение неотрицательности переменных задачи:

, .

В общем виде и с учетом значений норм расходов и запасов сырья система ограничений, налагаемая на переменные данной задачи, примет вид:

или