- •3. Матрицы
- •3.22. Решите матричное уравнение:
- •4. Системы линейных уравнений
- •5. Задачи на отыскание собственных значений и собственных векторов матриц
- •5.5. При каком значении параметра матрица имеет собственный вектор , соответствующий собственному значению ?
- •5.8. Проверьте, что вектор является собственным вектором матрицы и найдите соответствующее ему собственное значение .: , .
- •6. Предел последовательности.
- •7. Предел функции.
- •8. Производная функции
- •10. Графики функций
- •11. Интеграл
- •13. Частные производные. Градиент. Производная по направлению.
- •14. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.
- •16. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
- •17. Локальный условный экстремум функции нескольких переменных.
14. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.
14.9. Найдите вторые дифференциалы а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .
14.10. Найдите точки, в которых если
а) ; б) ; в) .
14.11. Найдите точки, в которых дифференциал функции равен нулю
а) ; б) .
14.12. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(2; 6), B(2; 6,01), C(2,02; 6). Найти приближенно частные производные точке в A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .
14.13. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 7), B(3; 7,01), C(3,02; 7). Найти приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .
14.14. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 6), B(3; 6,01), C(3,02; 6). Найти приближенно частные производные точке в A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .
14.15. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
14.16. Напишите ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности в точке .
14.17. Напишите ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности в точке .
14.18. Напишите ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности в точке .
14.19. Напишите ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности в точке .
14.20. Напишите ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности в точке .
14.21. Напишите ур-е касат. плоск-и и нормали к поверхности в точке .
Ответы: 14.10. а) ; б) , ; в) ; 14.11. а) , ; б) , , .;14.12. 0; 14.13. 24/5; 14.14. 0;14.15. , ; 14.16. , ; 14.17. , ;
14.18. , ; 14.19. , ; 14.20. , ; 14.21. , ;
16. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Найдите локальные экстремумы функций
16.1. ; 16.2. ; 16.3. ;
16.4. ; 16.5. ; 16.6. ;
16.7. ; 16.8. ;
16.9. ; 16.10. ;
16.11. ;
16.12. ;
16.13. ; 16.14. ;
16.15. ; 16.16. ;
16.17. ; 16.18. .
Ответы: 16.1. - max; 16.2. - max; 16.3. (1, 2) – нет экстремума, (-1, 2) –max; 16.4. (0, 0) –нет экстремума, (1/6, 1/6) –min; 16.5. (2, -3) -- max; (2, 3)-- нет экстремума; 16.6. (0, 0) – нет экстремума, (2/3, 1/3) –min; 16.7. (3, 2) – min, (-3, -2) – max; 16.10. -- min; -- нет экстр;16.11. -- min; -- нет экстр; 16.12. -- min; -- нет экстр. 16.13. -- min; -- нет экстр; 16.14. (7, -2, 1) – min, (7, -2, -1) – нет экстремума; 16.15 (1, 0, -2) – max, (1, 0, 2) – нет экстремума; 16.16. (2, 1, -3) – min, (2, 1, 3) – нет экстремума; 16.17. (3, 1, 2) – max, (3, 1, -2) – нет экстремума; 16.18. (2, -6, 1) – min, (0, 0, 1) – нет экстремума.
17. Локальный условный экстремум функции нескольких переменных.
17.1. Найдите условные локальные экстремумы функции при .
17.2. Найдите условные локальные экстремумы функции при .
17.3. Найдите условные локальные экстремумы функции при .
17.4. Найдите условные локальные экстремумы функции при .
17.5. Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.6. Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.7.Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.8. Найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.9. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.10. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.11. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.12. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.13. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.14. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.15. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.16. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии
17.17. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.18. Используя метод Лагранжа, найдите условные локальные экстремумы функции при условии .
17.19. Найдите наиб. и наименьшее значения функции при условии .
17.20 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при условии .
17.21. Найдите наиб. и наименьшее значения функции при условии .
17.22. Найдите наиб. и наименьшее значения функции при условии .
17.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной осями координат и прямой .
17.25. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной осями координат и прямой .
Ответы: 17.1. (1, 1), (-1, -1) – max, (-1, 1), (1, -1) – min; 17.2. (2, -3) – max, (-2, 3) – min; 17.4. (-4, -1) – max, (4, 1) – min; 17.5. (1, 1) – max, (-1, -1) – min; 17.6. (2, -3) – max, (-2, 3) – min; 17.7. (4, 1) – min, (-4, -1) – max; 17.8. (1, 1) (-1, -1) – max, (-1, 1) (1, -1) – min; 17.9. (0, 2) – min, (4/3, 2/3) – max; 17.10. (2, 1) – max; 17.11. (3, 0) – min,(1, 2) – max; 17.12. (2, 4) – max; 17.13. (-5, 4) – min, (5, -4) – max; 17.14. (-4, 1) – min, (4, -1) – max; 17.15. (6, 1) – min, (-6, -1) – max; 17.16. (1, 1) – min, (-1, -1) – max; 17.17. (0, -1) – min, (0, 1) – max; 17.18. (3, 1) – min, (-3, -1) – max; 17.24. наибольшее значение , наименьшее значение ; 17.25. наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -1.