2. Визначення переміщень в статично визначуваних рамах.

СПОСІБ ВЕРЕЩАГІНА

При визначенні переміщень в рамах, як правило, вплив поперечних і поздовжніх сил не враховується.

Найчастіше переміщення в рамах визначаються способом Верещагіна. Для визначення переміщень (лінійних і кутових) окремих перерізів рами цим способом необхідно заздалегідь побудувати епюри згинальних моментів:

1. вантажну - від навантажень, що діють на раму; вантажну епюру зручніше будувати в "розшарованому" вигляді, тобто від кожної сили окремо;

2. одиничні - від одиничної сили (при необхідності визначення прогинання) або від одиничного моменту (при необхідності визначення кута повороту перерізу), що прикладаються в тому перерізі, переміщення якого нас цікавить.

Заздалегідь, якщо в цьому є необхідність, слід визначити опорні реакції.

Способом Верещагіна переміщення у напрямі прикладеної одиничної сили визначається за формулою

,

де _i - площа дільниці однієї з "перемножуваних" епюр;

h_i - ордината лінійної епюри, відповідна положенню центру ваги площі _i ;

EJ_zi - жорсткість поперечного перерізу даної дільниці при згині. Одержані вирази слід підсумувати для всіх дільниць навантаження.

Нагадаємо також, що при застосуванні способу Верещагіна треба мати на увазі наступне: I) епюри згинальних моментів повинні бути розбиті на такі ділянки, в межах яких одна з перемножуваних епюр лінійна і жорсткість перерізу стержня постійна; 2) якщо вантажна і одинична епюри знаходяться по різні сторони від осі епюри, то відповідному виразу приписується знак "-".

Розглянемо приклади визначення переміщень точок рами за допомогою способу Верещагіна.

Приклад I. Визначити прогин кінця А лівої консолі рами, зображеної на рис. 4 а, під дією вантажу Р на кінці іншої консолі за способом Верещагіна.

P

A a B b C

a)

x

c

D

1

A ₁ B ₂ C A B C

б) в)

Pb 1a

₃ h₃

D Pb 1a D

Рис. 4.

Розв'язування. Заздалегідь побудуємо епюру згинальних моментів від прикладеного навантаження - вантажну епюру.

Згинальні моменти виникатимуть на ділянках BС і ВD. Аналітичний вираз для згинального моменту на ділянці BС рами має вигляд:

М(x) = Px,

звідси M_C = 0, М_B = Рb. Між точками С і В епюра окреслюється прямою лінією.

У перерізах стояка ВD згинальний момент буде постійним і рівним Рb.

Ординати епюри згинальних моментів відкладаємо на стиснутих волокнах. Епюра згинальних моментів представлена на рис. 4 б.

Побудуємо епюру від одиничної сили, прикладеної в точці А. Ця епюра будується аналогічно попередній (рис. 4 в).

За правилом Верещагіна прогинання кінця А лівої консолі рами представимо виразом

f_A = (₁h₁ + ₂h₂ + ₃h₃) / (EJ);

оскільки і вантажна і одинична епюри на кожній з дільниць окреслюються прямими лініями, то байдуже, де брати площу _i, а де ординату h_i. Для визначеності братимемо площі вантажних епюр:

₁ = 0, ₂ = 0,5bPb = 0,5Pb², ₃ = cPb = Pbc,

ординати одиничних епюр, відповідні центрам ваги вказаних площ, будуть відповідно рівні: h₂ = 0, h₃ = a, ординату h₁ немає сенсу визначати, оскільки ₁ = 0. Отже

f_A = (0h₁ + ₂0 - Pbca) / (EJ) = - Pabc / (EJ).

Знак "-" узятий тому, що перемножувані епюри розташовані по різні сторони від осьової лінії.

Приклад 2. Для приведеної нижче схеми навантаження рами постійного перерізу (рис. 5 а) визначити величину вертикального переміщення f, горизонтального переміщення і кута повороту  вільного кінця.

Розв'язування. Для визначення вказаних переміщень за способом Верещагіна необхідно побудувати вантажну епюру і одиничні епюри від вертикальної і горизонтальної одиничних сил і одиничного моменту, що прикладаються на вільному кінці рами.

Побудова вантажної епюри. У горизонтальному стержні BС згинальний момент виникатиме тільки від сили Р (рис. 5 а). Вираз згинального моменту в перерізі на відстані x від точки С має вигляд

М(х) = Рх,

відповідно до якого маємо

М_С = 0, М_В = Ра.

Епюра на ділянці ВС окреслюється прямою лінією (рис. 5 б).

Від сили Р в стояку АВ виникає згинальний момент, що має постійну величину Ра. Крім того, від розподіленого навантаження в стояку також виникає згинальний момент. Для перерізу на відстані у від точки В (рис. 5 а), вираз для згинального моменту від рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю q, має вигляд:

M(y) = 0,5qy²,

тобто епюра окреслюватиметься параболою.

B a C

a)

h x₁

y P

q

A

Pa ₁ 1a 1

B C B C

б) в)

1a h₁' = 2 a / 3

Pa ₂

h₂'

₃ h₃'

A A

1a

Pa + 0,5 qh²

B C 1 B C 1

г) д)

y 1

h₂" = 0,5 h

h₂" = 0,75 h

A A

1h 1

Рис. 5.

Значення згинальних моментів в перерізах В і А будуть рівні:

M_B = Pa, M_A = Pa + 0,5qh².

Вантажна епюра представлена на рис. 5 б.

Побудова одиничних епюр. Епюра згинальних моментів від вертикальної одиничної сили будується аналогічно попередньому (рис. 5 в).

Від горизонтальної одиничної сили згинальний момент виникає тільки в стояку АВ . Для перерізу на відстані y від точки В (рис. 5 г) вираз згинального моменту має вигляд:

M₂(y) = 1y,

по якому М_2B = 0, М_2А = h.

Епюра від одиничного моменту, прикладеного в точці C, представлена на рис. 5 д - в будь-якому перерізі рами виникає один і той же момент, рівний одиниці.

Всі епюри будуємо на стиснутих волокнах.

Оскільки одиничні епюри на ділянках рігеля і стояка окреслюється прямими лініями, то ординати братимемо на цих епюрах, а площі - вантажних епюр. Всі епюри розташовані по одну сторону від осі, тому усі доданки будуть додатними.

Застосовуючи спосіб Верещагіна, вертикальне переміщення точки С можна представити у вигляді (рис. 5 б, в):

f = (₁h'₁ + ₂h'₂ + ₃h'₃) / (EJ);

де

₁ = 0,5aPa = 0,5Pa², h'₁ = (2 / 3)a,

₂ = hPa = Pah, h'₂ = a,

₃ = (1 / 3) h0,5qh² = qh³ / 6, h'₃ = a.

f = [0,5Pa²(2 / 3)a + Paha + (1 / 6)qh³a] / (EJ) =

= (Pa³ / 3 + Pa²h + qah³ / 6) / (EJ).

Для горизонтального переміщення точки С маємо вираз (рис. 5 б, г):

 = (₂h"₂ + ₃h"₃) / (EJ),

де

h"₂ = 0,5h, h"₃ = (3 / 4)h,

 = (Pah0,5h + (1 / 6)qh³(3 / 4)h] / (EJ) = 0,5(Pah² + 0,25qh⁴) / (EJ).

Кут повороту вільного кінця _C визначиться із виразу

_C = (₁h"'₁ + ₂h"'₂ + ₃h"'₃) / (EJ),

де h"'₁, h"'₂ і h"'₃ - ординати одиничної епюри (рис. 5 д), відповідні положенням центрів тяжіння складових площі вантажної епюри (рис. 5 б) ₁, ₂ і ₃.

Оскільки h"'₁ = h"'₂ = h"'₃ = 1, то

_C = (₁ + ₂ + ₃)1 / (EJ) = (0,5Pa² + Pah + qh³ / 6) / (EJ).