4. Приклади розрахунку простих статично невизначуваних рам

Завдання I

Для заданої статично невизначуваної рами (рис. 12 а) необхідно: I) встановити ступінь статичної невизначуваності; 2) вибрати основну систему; 3) написати канонічні рівняння; 4) побудувати епюри згинальних моментів від зовнішнього навантаження, від одиничних сил і обчислити (способом Верещагіна) всі коефіцієнти переміщення, що входять в канонічні рівнянні; 5) знайти величини реакцій "зайвих" в'язей (розв'язати канонічні рівняння); 6) побудувати кінцеві епюри M, N і Q ; 7) перевірити правильність побудови кінцевої епюри M, перемноживши її на кожну з одиничних епюр.

Розв'язування

1. Встановимо ступінь статичної невизначуваності рами. Всього невідомих реактивних зусиль п'ять: H_А, V_А, М_А, H_D, V_D. Для плоскої довільної системи сил можна скласти тільки три лінійно незалежних рівнянь рівноваги. Ця рама є двічі ( 5 - 3 = 2 ) статично невизначуваною.

2. Вибираємо основну систему, тобто таку раму, яка є статично визначуваною і одержана із заданої рами шляхом відкидання "зайвих" в'язів. На рис. 12 б зображена основна система у вигляді рами, затисненої в точці А , має вільний кінець в точці D. Опора в точці D відкинута і її дія на раму замінена реакціями V_D = Х₁ і H_D = Х₂, поки що невідомими.

3. Для визначення зайвих невідомих складаємо канонічні рівняння, які у разі двох невідомих мають вигляд:

₁₁X₁ + ₁₂X₂ + _1P = 0, ₂₁X₁ + ₂₂X₂ + _2P = 0,

де ₁₁, ₁₂, _1P - переміщення точки D у напрямі сили X₁, викликані дією одиничних сил X₁ = 1, X₂ = 1 і розподіленого навантаження відповідно; ₂₁, ₂₂, _2P - переміщення тієї ж точки у напрямі сили X₂, викликані дією тих же сил.

4. Визначення коефіцієнтів, що входять в канонічні рівняння, здійснимо способом Верещагіна. Щоб скористатися способом Верещагіна, слід заздалегідь побудувати епюри згинальних моментів: вантажну М_Р - від заданого навантаження; одиничні - від дії вертикальної (Х₁) і горизонтальної (Х₂) одиничних сил, прикладених в точці D основної системи.

Побудова вантажної епюри. Переміщаючись по контуру рами, враховуємо сили, що діють тільки по одну сторону від даного перерізу. Побудову епюри почнемо із стояка СD .В цьому випадку можна обійтися без визначення реакцій в затисненні (точка А). Епюру будуватимемо на стиснутих волокнах стержня. Стояк СD , очевидно, буде вільним від дії зовнішнього навантаження і тому в його перерізах не виникатимуть згинальни моменти. Перейдемо до побудови вантажної епюри для горизонтального елементу рами - рігеля СВ. Для перерізу із координатою х (рис. 12 в) величина згинального моменту буде мати вигляд

M(х) = 0,5qx².

q

B a C B C

a) a б)

2a V_D = X₁

H_D = X₂ D D

V_A

A A

M_A H_D

q a h'₂ = (2 /3)·a

в) B C г) B C

qa²/2 x _ x

_P1 h₂

_P2 D __ D

X₁ = 1

A A

B C

д) a a

y₂ y₁

s X₂ = 1

(2/3)a y D

H_A

a M_A

Рис. 12

Відповідно до цього виразу згинальні моменти в перерізах С і В відповідно будуть 0 і 0,5qа². Епюра згинальних моментів на ділянці рігеля ВС окреслюється параболою.

У перерізах стояка АВ величина згинального моменту буде постійною і рівною 0,5qа².

Кінцевий вигляд вантажної епюри показаний на рис. 12 в.

Побудова епюри згинальних моментів від одиничної сили X₁. У стояку СD (рис. 12 г) згинальні моменти не виникають. У горизонтальному стержні СВ згинальний момент від одиничної сили X₁ , в перерізі на відстані х від точки С визначається виразом 1х, тобто для точок С і В значення згинального моменту рівне 0 і 1а відповідно. Для стояка АВ момент постійний і рівний 1а. Відкладаючи відповідні ординати згинальних моментів для точок D, С, В і А і з'єднуючи їх кінці прямими лініями, одержимо епюру згинальних моментів, що виникають в перерізах стержнів рами від дії одиничної вертикальної сили (рис.12 г).

Побудова епюри згинальних моментів від одиничної сили X₂. Побудову епюри і в цьому випадку починаємо з точки D (рис. 12 д). У точці D згинальний момент, очевидно, дорівнює нулю. У перерізі, розташованому на відстані у₁ від точки D, згинальний момент дорівнює М(у₁) = 1у₁, отже, для точок D і С матимемо M_D = 0, M_С = 1а = а відповідно. Для рігеля СВ плече одиничної сили залишається постійним, тому згинальний момент буде величиною постійною і рівною 1а.

Для стояка ВА плече одиничної горизонтальної сили для довільного перерізу рівне у₂, згинальний момент в цьому перерізі буде 1у₂. Для верхньої половини стояка стиснуті волокна розташовані праворуч від осі, а для нижньої - ліворуч. Абсолютні значення згинальних моментів в точках А і В однакові і рівні а, а знаки їх різні.

Якщо ж визначити реакції в затисненні А від дії сили Х₂ = 1 (H_А = 1, V_А = 0, М_А = а) і робити обхід по контуру рами від точки А до точки С, то вираз згинального моменту для стояка АВ матиме вигляд

M(х) = М_А - H_Ау,

при цьому величини згинальних моментів для точок A (у = 0), S (у = а) і В (у = 2а) будуть відповідно рівні:

М_А = а - 10 = а, М_S = а - 1а = 0, М_B = а - 12а = - а.

Епюра згинальних моментів від дії одиничної горизонтальної сили Х₂ = 1 представлена на рис. 12 д.

Перейдемо тепер до визначення переміщень, використовуючи епюри згинальних моментів, побудовані для основної системи, - вантажну (рис. 12 в) і одиничні (рис. 12 г, д).

Для обчислення ₁₁ слід епюру М₁, зображену на рис. 12 г перемножити саму на себе. На рігелі ВС маємо: ₁ = 0,5аа = 0,5а², h₁ = (2 / 3)а ( оскільки центр тяжіння трикутника ВВ'С знаходиться на відстані (2 / 3)а від вузла С ). На стояку АВ: ₂ = 2аа = 2а², h₂ = а; на стояку СD і площа епюри і ордината, відповідна центру тяжіння цієї площі, рівні нулю. Отже

₁₁ = [0,5а²(2 / 3)а + 2а²а] / (EJ) = (7 / 3)а³ / (EJ).

Для обчислення переміщення ₁₂ треба епюру М₁ (рис. 12 г) помножити на епюру М₂ (рис. 12 д). На правому стояку одержимо нуль, оскільки всі ординати першої епюри рівні нулю. На лівому стояку також одержимо нуль, але з іншої причини - ордината другої епюри, відповідна центру тяжіння прямокутника (тобто що знаходиться посередині висоти стояка) рівна нулю. Цього ж висновку можна дійти і іншим шляхом: розбити площу прямокутника на дві рівні частини і перемножити кожну з площ на “свою” ординату, оскільки ці ординати рівні за величиною і протилежні за знаком, то відповідна сума буде дорівнювати нулю. Отже, залишається тільки перемножити відповідні епюри на рігелі:

₁₂ = - 0,5а²а / (EJ) = - а³ / (2EJ).

Тут знак "-" взятий тому, що перемножувані епюри розташовані по різні сторони від нульової лінії.

За теоремою про взаємність переміщень ₂₁ = ₁₂, тому

₂₁ = - а³ / (2EJ).

При обчисленні переміщення ₂₂ треба перемножити саму на себе епюру М₂, зображену на рис. 12 д; тут є три однакові трикутники і один прямокутник:

₂₂ = [30,5аа(2 / 3)а + ааа] / (EJ) = 2а³ / (EJ).

Підкреслимо, що переміщення ₁₁ і ₂₂ (головні переміщення) завжди є величинами додатними.

Далі обчислюємо вантажні переміщення _1P і_2P .

Вантажна епюра для рігеля окреслюється параболою, тому її площа буде рівна _Р1 = (1 / 3)а0,5qа² = qа³ / 6, а площа вантажної епюри для стояка _Р2 = 2а0,5qа² = qа³. Відповідні ординати рівні: h'₁ = (3 / 4)а, h₂ = а.

Вантажне переміщення _1P за правилом Верещагіна дорівнює

_1P = (_Р1h'₁ + _Р2h₂) / (EJ) = - [(1 / 6)qа³(3 / 4)а + qа³а] / (EJ) = - (9 / 8)qа⁴ / (EJ).

Аналогічно визначаємо вантажне переміщення _2P :

_2P = (1 / 3)а0,5qа²а / (EJ) = (1 / 6)qа⁴ / (EJ).

5. Підставляємо знайдені величини переміщень в канонічні рівняння і після деяких спрощень одержуємо:

56X₁ - 12X₂ - 27qа = 0, - 3X₁ + 12X₂ + qа = 0.

Розв'язок цих рівнянь: X₁ = (26 / 53)qа, X₂ = [25 / (1253)]qа.

6. Оскільки невідомі X₁, X₂ знайдені, то подальший хід рішення проводиться як для статично визначуваної задачі.

Побудуємо епюру згинальних моментів М.

Вираз згинального моменту для правого стояка СD (рис. 13 а) має вигляд:

M_CD = X₂y₁ y₁  [ 0, a],

звідки

M_D = 0, M_C = [25 / (1253)]qаа = [25 / (1253)]qа² = 0,0393qа².

У рігелі СВ згинальні моменти виникатимуть під дією сил X₁ і X₂ і розподіленого навантаження, вираз згинального моменту має вигляд:

M_CB = 0,5qx² - X₁x + X₂а x  [ 0, a].

Визначимо із цього виразу значення згинальних моментів в перерізах В і С рігеля:

M_B = 0,5qа² - (26 / 53)qаа + [25 / (1253)]qаа = [31 / (1253)]qа² = 0,0487qа²,

M_C = X₂а = [25 / (1253)]qаа = [25 / (1253)]qа² = 0,0393qа².

Для визначення максимального значення згинального моменту прирівнюємо похідну d M_CB / d x нулю:

qx_max - X₁ = 0,

далі знаходимо координату перерізу –

x_max = X₁ / q = (26 / 53)а = 0,491а,

і величину максимального згинального моменту -

M_max = 0,5q(26а / 53)² - (25 / 53)qа(26 / 53)а + [25 / (1253)]qаа =

= - [2731 / (1253²)]qа² = - 0,081qа².

Оскільки значення M_max вийшло від'ємним, а значення згинальних моментів в перерізах В і С додатні, то в деяких перерізах значення згинального моменту будуть рівні нулю. Знайдемо координати цих перерізів, прирівнявши нулю вираз для M_CB :

0,5qx₀² - X₁x₀ + X₂а = 0,

звідси

x_01,2 = [X₁  (X₁² - 2qX₂а)^1/2 / q = (X₁ / q) [1  (1 - 2qаX₂ / X₁²)^1/2] =

= (26 / 53) [1  (2731 / 4056)^1/2]

x₀₁ = 0,088a, x₀₂ = 0,893a.

Маючи значення згинальних моментів в перерізах С і В, координати перерізів з нульовими значеннями згинальних моментів, а також знаючи величину максимального згинального моменту і його координату, можна побудувати епюру М в рігелі ВС.

На лівому стояку АВ (рис. 13 а) згинальний момент змінюється, очевидно, по лінійному закону. В точці В, маємо:

M_В = [31 / (1253)]qа² = 0,0487qа².

M_max = 0,081qa² x₀₁

q

a) B C б) B C

a x_max 0,0393qa²

x 0,0487qa²

2a a

y₁ x₀₂

V_A y₂ X₂ D D

M_A X₁ 19a/25

H_A

A 0,0299qa² A

0,509qa² 0,0393qa²

B C B

в) г)

0,491qa

D

D

0,0393qa 0,509qa 0,491qa

A 0,0393qa A

Рис. 13

Для отримання виразу згинального моменту в перерізах стояка зручніше почати обхід рами з точки А. Визначимо заздалегідь реакції опори А:

 X = 0, H_A = X₂ = [25 / (1253)]qа = 0,0393qа,

 Y = 0, V_A - qа + X₁ = 0, V_A = qа - X₁ = qа - (26 / 53)qа = 0,509qа,

 m_A = 0, M_A + 0,5qа² + X₁a + X₂a = 0,

M_A = (X₁ + X₂)a - 0,5qа² = {(25 / 53)qа + [25 / (1253)]qа}a = 0,0299qа².

Вираз згинального моменту в довільному перерізі стояка АВ матиме вигляд:

M_AB = M_A - H_Ay₂ y₂  [ 0, 2a].

Відповідно до цього виразу маємо:

M_A = [19 / (1253)]qа² = 0,0299qа²,

M_B = [19 / (1253)]qа² - [19 / (1253)]qа2qа = - [31 / (1253)]qа² = - 0,0487qа²,

у перерізі з координатою y₂ = M_A / H_A = (19 / 25)а значення згинального моменту рівне нулю.

Кінцева епюра згинальних моментів представлена на рис. 13 б.

Перейдемо до побудови епюри поперечних сил Q. Оскільки реакції X₁ і X₂ відомі, то фактично йтиметься про побудову епюри поперечних сил для статично визначуваної рами, представленої на рис. 13 а. При визначенні поперечних сил в стержнях рами будемо рухатись від точки D до точки А, знаходячись у середині контура рами.

В правому стояку СD поперечна сила Q постійна і дорівнює X₂,

Q_CD = X₂ = 0,393qа.

В рігелі величина поперечної сили змінюється по лінійному закону відповідно до рівняння

Q_CB = - X₁ - qx, x  [ 0, a];

для точок С і В значення поперечної сили Q будуть:

Q_C = - X₁ = - 0,491qа,

Q_B = - X₁ + qa = - (26 / 53)qа + qа = (27 / 53)qа = 0,509qа.

В лівому стояку поперечна сила постійна і рівна горизонтальній опорній реакції в точці А, яка, у свою чергу, рівна X₂:

Q_AB = - X₂ = - 0,0393qа.

Відповідно до значень поперечної сили в характерних точках (у вузлах) рами будуємо епюру. При цьому ординати епюри Q відкладаємо у напряму, протилежному напряму дії рівнодіючої зовнішніх сил, прикладених праворуч від даного перерізу.

Остаточна епюра поперечних сил представлена на рис. 13 в.

Побудуємо епюру поздовжніх сил N. В правому стояку (рис. 13 а) діє поздовжня сила

N_DC = - X₁ = - (25 / 53)qа = - 0,491qа,

в рігелі

N_CB = - X₂ = - [25 / (1253)]qа = - 0,0393qа.

В лівому стояку поздовжня сила рівна алгебраїчній сумі сили X₁, направленої вгору, і рівнодіючої вертикального рівномірно розподіленого навантаження q, направленої вниз, тобто

N_BA = X₁ - qa = - (27 / 53)qа = - 0,509qа.

Епюра N зображена на рис. 13 г, вона побудована симетрично щодо осі кожного стержня. Знак "-" означає, що всі стержні стиснуті.

7. Перевіримо правильність побудови епюри згинальних моментів. Для цього виберемо основну систему по-іншому так, як показано на рис. 14 а. Прикладемо в опорі А одиничний момент X = 1 і побудуємо одиничну епюру, заздалегідь визначивши опорні реакції ( V_A = V_D = 1 / a ). Одинична епюра M представлена на рис. 14 б. В результаті перемножуення вантажної епюри на епюру M повинні одержати нуль, оскільки поворот перерізу А в початковій системі дорівнював нулю.

Для виконання перемноження епюр представимо вантажну епюру в розшарованому вигляді, тобто побудуємо епюри згинальних моментів від кожної сили окремо. Ці епюри представлені на рис. 14 в.

Кут повороту перерізу А представимо таким чином:

_A = ['_X1h₁ - '_X2h₂ - '_qh_q + ("_X1 + "_q)h] / (EJ),

де ('_X1, '_X2, '_q - площі вантажної епюри для рігеля від дії сил X₁, X₂ і розподіленого навантаження q; h₁ = 2 / 3, h₂ = 1 / 2, h_q = 3 / 4 - ординати одиничної епюри, відповідні центрам тяжіння площ '_X1, '_X2, '_q ; "_X1, "_q - площі вантажних епюр для стояка АВ від дії сили X₁ і розподіленого навантаження q ; h = 1 - ордината одиничної епюри, відповідна центру тяжіння площ "_X1 і "_q .

B a C

a)

2a a

D

A

h_q = 3/4 h₁ = 2/3

l h₂ = 1/2

B

б) C

h = 1 V_D = 1/a

D

X = 1

A

V_A = 1/a

26qa²/53 '_X1

B C

в)

qa²/2 25qa²/(1253)

'_q '₁₂

"_X1 "_q

D

qa²/2

Рис. 14

Оскільки "_X2 представлена двома трикутниками, розташованими по різні сторони від осі епюри (на рис. 14 в ці трикутники заштриховані), то "_X2 = 0 і доданок "_X2h при визначенні _A не враховується (можна перемножувати площу ділянки одиничної епюри 2а1 на ординату, взяту на вантажній епюрі і рівну нулю, - при цьому також одержимо нуль).

Оскільки площа ділянки одиничної епюри для стояка DC дорівнює нулю (рис. 14 б), то при визначенні _A відповідний доданок дорівнює нулю.

Площі, необхідні для визначення _A, наступні (рис. 14 в):

'_X1 = (13 / 53)qa³, '_X2 = [25 / (1253)]qa³, '_q = qa³ / 6,

"_X1 = (52 / 53)qa³, "_q = qa³.

Тепер одержуємо:

_A = {(13 / 53)qа³(2 / 3) - [25 / (1253)]qа³0,5 - (1 / 6)qа³ (3 / 4) +

+ [(52 / 53)qа³ - qа³]1} / (EJ) = 0.

Оскільки кут повороту перерізу А дорівнює нулю, то епюра M побудована правильно.

Завдання 2

Для рами, представленої на рис. 15 а, розв'язати завдання I.