Практическое занятие 3 Метод наименьших квадратов

Цель занятия: изучение метода наименьших квадратов.

Задание. 1. Выровнять временной ряд по методу "скользящих средних".

2. Построить график динамики показателя.

3. Определить закономерность изменения показателя во времени, исходя из формы кривой.

4. Используя метод наименьших квадратов, определить параметры уравнения прогноза.

5. Определить возможную ошибку прогноза и границы доверительной зоны.

6. Сделать прогноз на 10 лет.

Методика выполнения задания.

Временной ряд- это совокупность числовых величин, характеризующих изменение некоторого показателя во времени.

Анализ исходных кривых осуществляется в несколько этапов:

- строится графическое изображение временного ряда, которое позволяет наглядно определить закономерность изменения явления;

- выявленная тенденция сравнивается с экономической интерпретацией явления. Если построенный график удовлетворяет экономическому содержанию явлений, то он используется для дальнейших исследований. Если же динамика изменения показателя не согласуется с экономической теорией, то необходимо изменить объем исходной информации путем увеличения или сокращения элементов временного ряда. Возможно также изменение интервалов времени (вместо года более мелкие промежутки времени);

- если кривая имеет сложную конфигурацию, то эту кривую выравнивают. Для выравнивания можно использовать метод "скользящих средних".

Сущность метода заключается в том, что фактические значения показателей заменяются усредненными величинами, которые имеют значительно меньшую вариацию в сравнении с исходными элементами ряда.

Существует два способа расчета "скользящих средних":

- для нечетного числа интервалов времени;

- для четного числа интервалов времени.

Например, временной ряд состоит из элементов: .

1. Выбирается некоторое нечетное число (чаще 3, 5, 7). Рассчитываются средние величины для показателей:

,

и т.д. до .

2. Если - четное (чаще 2, 4, 6), то требуются дополнительные расчеты:

- находят средние величины для промежутков времени и ; и ; и и т.д.;

- полученные величины суммируют, находят средние, которые вновь применяются для расчета.

Далее на графике по выровненным показателям строится кривая и определяется функция, по которой можно описать закономерность. Для определения ее параметров используют метод наименьших квадратов, который основан на выравнивании среднеквадратических отклонений. Чем меньше среднеквадратическое отклонение, тем наиболее точно аналитическая функция отображает исходные зависимости.

Если зависимость линейная, то уравнение имеет следующий вид:

, (3.1)

где и - параметры уравнения.

Для определения значений и необходимо решить систему уравнений:

(3.2)

.

Для этого строится следующая аналитическая таблица:

Год	Значение показателя,	Условный год,
1 2 …
Всего

Если зависимость имеет нелинейный характер, то уравнение имеет следующий вид:

, (3.3)

где , , - параметры уравнения.

Для определения значений , и решается система уравнений:

(3.4)

.

Если при выявлении закономерностей используются нелинейные связи, то эти связи преобразуют с помощью специальных приемов в линейные. Порядок преобразования нелинейных связей в линейные представлен в таблице 3.1.

Оценка точности прогноза, его достоверности называется верификацией и решает две задачи:

- проверка пригодности уравнения, составленного по выборочной совокупности, отображать динамику изменения переменной в более общей, генеральной совокупности;

- нахождение возможной ошибки прогноза по выборочному уравнению .

Для числового определения границ доверительной зоны считается вероятная ошибка прогноза. Случайные ошибки параметра и определяются выражениями:

; (3.5)

, (3.6)

где - остаточное среднеквадратическое отклонение (см. формулу 1.7); - число элементов выборочной совокупности; - аргумент, от которого зависит переменная .

Для оценки достоверности прогноза рассчитывается - критерий Стьюдента:

; (3.7)

. (3.8)

Фактическое значение - критерия Стьюдента сравнивается с табличным:

- если фактическое значение не меньше табличного, то параметры значимые, тогда определяют границы доверительной зоны параметров и , и прогноз можно считать достоверным;

- если фактическое значение - критерия Стьюдента меньше, чем табличное, то найденные параметры уравнения незначимые, следовательно, найденная закономерность не может использоваться для прогноза изучаемого явления.

Таблица 3.1

Правила замены нелинейной связи в линейную

Функция	Исходное уравнение	График	Способы замены переменных	Линеаризованное уравнение
Гиперболическая
Степенная
Экспоненциальная
Логистическая
Простая модифицированная экспоненциальная

Границы доверительной зоны определяются следующими выражениями:

; (3.9)

. (3.10)

Используя исходные данные своего варианта (приложение 3), выполнить задание и сделать соответствующие выводы.

Вопросы: 1. Какими могут быть причины низкой достоверности прогноза?

Пример. По данным, характеризующим закономерность изменения энергоемкости продукции на предприятии (табл. 3.2), на основе метода наименьших квадратов определить параметры уравнения прогноза, сделать прогноз на 10 лет и оценить достоверность полученного прогноза.

Таблица 3.2