§ Бином Ньютона
Приведем и докажем очень важную формулу, предназначенную для возведения суммы двух слагаемых в натуральную степень. Эта формула называется формулой бинома Ньютона.
.
∆ Доказательство теоремы проведем по методу математической индукции:
а)
При
имеем
т. е. при
равенство выполняется.
б)
Допустим равенство выполняется при
т.е.
.
Рассмотрим
=
=
=
=
=
=
=…
…=
.
т.е.
из справедливости формулы при
следует её справедливость при
.
По методу математической индукции
формула бинома Ньютона доказана. ▲
Следствия из формулы бинома Ньютона:
,
.
1
Свойство сочетаний:
,
1 1 полученное выше
1 2 1 даёт способ вычисления коэффициентов
1
3 3 1 разложения
.
Эти коэффициенты
1 4 6 4 1 называются биноминальными.
1 5 10 10 5 1 Этот способ демонстрирует, так называемый,
… … … … ... треугольник Паскаля:
§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
Пределом
функции f (x)
по последовательности
xn
называется
.
Пример
Рассмотрим
.
Для этой функции
не существует.
Однако
при
и , следовательно,
.
Т. Если существует предел функции f (x) по всякой последовательности
xn a (xn D(f )) отличной от а то все эти пределы равны и существует
равный их общему значению предел функции в точке а.
∆
а)
Пусть : xn
a
(xn
a
) и
(
) .
и
пусть
и
.
Рассмотрим
новую последовательность
такую, что:
а
( kN
) т.е. между элементами последовательности
вставим элементы последовательности
.
Учитывая,
что
,
для этой последовательности получим
.
Но
…
начиная с некоторого номера k1.
начиная с
некоторого номера k2.
Тогда
.
Из
свойства отделимости точек числовой
прямой следует, что
и
значит не существует
,
если
.Значит:
.
б)
Пусть теперь
.
Здесь b общее значение
пределов функции по всем последовательностям
. Тогда:
.
Построим
последовательность
такую, что:
N
.
Для
нее
и, следовательно,
,
что вновь противоречит условию теоремы.
Как говорится, противоречие доказывает
теорему. ▲
Доказанная теорема свидетельствует о том, что:
Предел функции по Гейне и по Коши – понятия эквивалентные.
§ Число e.
-иррациональное
число.
∆ Рассмотрим
последовательность
:
10.
+…+
=
.
Тогда:
.
Из последнего неравенства следует, что
.
Т.е.
последовательность
-ограничена.
20.
,
т.
е.
и, следовательно, последовательность
возрастающая.
Таким
образом, установлено, что последовательность
монотонно возрастающая и ограниченна
сверху . Следовательно, существует и
конечен предел этой последовательности
R.
Предел этой последовательности называется числом e . Некоторое количество первых значащих цифр его численного значения приведено выше.
Для их запоминания часто применяют следующее мнемоническое правило запомните число 2,7 далее два раза напишите год рождения Льва Толстого 1828
и два раза половина прямого угла 45, между которыми стоит прямой угол 90.
Обозначение
ввел Я. Эйлер (
- первая буква в слове exponenta).
Обозначение стало общеупотребительным,
так как напоминает и об Я. Эйлере (
- первая буква фамилии Euler
Leonard, 1707-1783).
.
Эйлер ввел также
(греч.
- окружность) в 1736 г. И хотя еще в 1706 г. то
же сделал У. Джонсон (W.
Johnson), только после Эйлера
обозначение стало обще употреби-тельным.
,
3.141…3.146
Тот же результат можно получить, воспользовавшись неравенством Я. Бернулли:
если
и
,
причем
.
Для натурального
,
,
и положительного
неравенство очевидно из формулы бинома:
.
Для натурального
,
,
и
доказывается методом математической
индукции: первый шаг индукции
,
предположение индукции
,
индуктивный шаг
.
В общем случае (для вещественных показателей) легко доказывается методами дифференциального исчисления.
Для последующего
рассуждения требуется только доказанное
здесь (
натуральное).
>
=
=
.
- последовательность
возрастает (
).
Далее определим последовательность:
.
Тогда для нее:
=
=
=
>
>
=
> 1.
- последовательность
убывает. Очевидно
.
Если
,
то
- любой член одной последовательности
ограничивает другую последовательность.
Следовательно:
.
Но
.
§. Ряд для e. Series for e.
Отбрасывая в
выражении
для
все (положительные) слагаемые после k+1
имеем:
Существование
предела слева доказано, предел справа
очевидно существует, поэтому в пределе
получаем двойное неравенство:
;
.
Учитывая что, и
правая и левая части неравенства
стремятся к
,
по принципу двустороннего ограничения
получаем:
;
- представление
в виде суммы числового ряда.
Теперь:
=
<
<
= …
Заменяем множители,
большие
на
(уменьшение знаменателей – увеличение
слагаемых и суммы)
… =
<
,
поскольку:
.
Значит
.
Обозначая
,
,
получим
.
,
где
.
Пользуясь этой
формулой легко вычислить
вручную (без калькулятора) с любой
разумной точностью (достаточной для
большинства «практических» задач).
Прежде чем делать это, получим ещё одно
представление числа
в виде. Для этого заметим, что:
=
=
=
=
.
Величина убывает
к
,
поскольку слагаемые в сумме положительны.
=
=
.
Для разности
имеем
=
=
<
<
=
=
,
поскольку
.
,
где
.
Пользуясь полученными
формулами, можно вычислим число
с необходимым количеством верных знаков
после запятой.