- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
Сравнение сечений множества рациональных чисел
Comparison of Rational Number Sections
Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
Поскольку число, производящее сечение, когда оно есть, может быть отнесено и к нижнему и к верхнему классу (конечно, не одновременно) часто удобно говорить о внутренностях классов и , т.е. о классах без рационального числа производящего сечения даже когда оно есть. В случае рациональных сечений (сечений производимых рациональным числом)
=\max A \min A
В случае иррациональных сечений внутренности классов совпадают с самими классами: и . Использование внутренности класса соответствует такому специальному выбору сечения, производимого рациональным числом, при котором число, производящее сечение, включается в другой дополнительный рассматриваемому классу класс Q Q .
Верхние (нижние) классы или их внутренности для двух сечений множества рациональных чисел либо совпадают, либо один из них содержит другой:
= .
Если а и b то множества А и В имеют одни и те же элементы, а потому совпадают (равны): А=В.
Если, скажем, а то аB’. Тогда а и b bа (т.к. а а<а (т.к. а a b b<а. Таким образом, BA Что получается переходом и дополнениям Q\ и Q\’
Если предположить, что одновременно а и b придем к противоречию: а аа>b; с другой стороны bbbа. Таким образом, одноименные классы двух сечений не могут пересекаться лишь частично, т.е. так, чтобы в каждом классе были элементы не содержащиеся в другом: невозможно
либо \ либо \ это
соответствует и
Определение равенства сечений. Сечения и равны тогда и только тогда, когда совпадают внутренности их нижних или, что-то же, верхних классов: ==.
Для иррациональных сечений это тривиальное равенство в смысле тождественного совпадения приравниваемых объектов (сечений). Для сечений, производимых рациональными числами, это, кроме того, и отождествление сечений, отличающихся размещением числа производящего сечение в верхнем или нижнем классе, поскольку приравниваются внутренности классов, куда секущее число не входит. Иными словами для таких сечений это переформулировка сформулированной ранее договоренности об их отождествлении.
Определение отношения порядка для сечений. Из двух неравных сечений и больше то, внутренность нижнего класса которого содержит внутренность нижнего класса другого сечения, или, что- то же, внутренность верхнего класса которого содержится во внутренности верхнего класса другого сечения:
Любые два вещественные числа (сечения) сравнимы (линейность порядка в множестве сечений)
R
Следует из утверждения о сравнимости (внутренностей) одноименных классов любых двух сечений
Равенство сечений рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. обладает всеми свойствами равенства по определению (эквивалентности). Нестрогое неравенство между сечениями рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. обладает всеми свойствами отношения порядка. Отношения равенства или порядка между сечениями, для сечений, производимых рациональными числами, равносильны равенству или порядку между числами производящими сечения. Сечения, соответствующие рациональным числам а(а) из внутренностей нижнего (верхнего) классов меньше (больше) рассматриваемого сечения
Пусть C|C', Тогда
а) Рефлексивность ;
б) Симметричность
в) Антисимметричность
г) Транзитивность
д) Связь сравнения рациональных чисел со сравнением, производимых ими сечений: если а, bQ, то
а =b b аb b
е) Сравнение сечения с сечениями, производимыми рациональными числами, из внутренностей его классов. Если aи a, то
aa.
ж) Конечно для аQ запись а равносильна утверждению, что сечение производится рациональным числом а.
а) и и `
b)
в)
г)
д) xQ| x <xQ| x <b}xQ x< x <b b
Отождествление сечений множества рациональных чисел с вещественными числами требует:
а) определения для сечений отношений равенства и порядка (= и ;
b) определения для сечений суммы и произведения;
в) доказательства, что для сечений отождествляемых с рациональными числами результат сравнения совпадает с результатом сравнения секущих рациональных чисел доказательства, что сумма и произведение рациональных сечений, есть сечения производимые, соответственно, суммой и произведением секущих рациональных чисел;
г) выявления преимуществ новой системы чисел;