Раздел 4. Непрерывные функции
§ Арифметические действия над непрерывными функциями. суперпозиция непрерывных функций
T0. Сумма, произведение и частное непрерывных функций непрерывны (частное при условии, что знаменатель отличен от нуля).
∆
.
(для произведения и частного аналогично).▲
Следствия:
10.Любая
натуральная степень непрерывна
непрерывна
.
непрерывна.
20.Любой
многочлен
непрерывен.
30.Любая
рациональная функция
непрерывна в своей области определения.
T0.Суперпозиция непрерывных функций непрерывна.
∆ Справедливость следует из теоремы о пределе сложной функции▲
§ Частичные пределы
Def.
Сужением функции на множество
или ограничением функции
на множество
называется:
.
Def.
Частичным пределом функции
по множеству
называется предел ограничения этой
функции на множество
.
.
T0.
Если в точке
существует предел функции, то в этой
точке существует и равен ему всякий
частичный предел, о котором имеет смысл
говорить.
∆
,
а
это значит, что
▲
Примечание: Из существования частичного предела и, даже, бесконечного числа равных частичных пределов не следует существование предела функции.
Пример:
,
,
но
.
Т(об односторонних пределах). Если существуют и равны между собой оба односторонних предела, то существует и равен их общему значению предел функции в данной точке.
∆
,
.
Возьмём
и получим
▲
§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
10. Если функции, имеющие предел в некоторой точке совпадают на множестве сгущающемся в этой точке, то их пределы равны.
20. Если последовательности, имеющие предел, содержат совпадающие подпоследовательности, то их пределы равны.
30. Если функции совпадают в проколотой окрестности предельной точки, то их пределы равны в случае существования .
40. Если две последовательности совпадают, начиная с некоторого номера, то их пределы существуют или не существуют одновременно, и в случае существования равны.
50. Если из двух функций одна не превышает другой в проколотой окрестности предельной точки, то предел первой не превосходит предела второй в случае их существования.
60. Если предел одной функции больше предела второй в некоторой точке, то существует проколотая окрестность этой точки, в которой первая функция больше второй.
∆ 10,20:
,
и имеется множество
:
.
Тогда
.
30,40:
Во-первых:
.
Во-вторых:
.
60:
Пусть
;
;
,
тогда
,
.
Выберем
;
,
тогда
.
50:
Пусть
.
Докажем,
что
.
Доказательство здесь проведем от противного.
Допустив,
что
,
получим по п.60
,
а это противоречит условию теоремы. ▲
и, наконец
Т0. (Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах).
Если две функции имеют общий предел и в окрестности предельной точки третья функция заключена между ними, то она имеет тот же предел.
∆ следует из 50 и 60.
Пусть
,
,
и,
т.к.
и
,
то
т.е.
.
▲