- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
Рассмотрим полином , .
1. По основной теореме алгебры: , .
*. По следствию из теоремы Безу: причем старший коэффициент полинома совпадает со старшим коэффициентом полинома .
2. По основной теореме алгебры: , .
*. По следствию из теоремы Безу: .
…………
n) …………
Получили: .
Учитывая что, уравнение может иметь кратные корни ( – кратность корня ), получим разложение полинома на линейные множители.
где и .
§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
Рассмотрим , ( и ) и пусть является корнем многочлена. Тогда:
.
Т.е. если число является корнем уравнения n-й степени с вещественными коэффи- циентами, то также является корнем того же многочлена.
Следствие: Уравнение нечетной степени с вещественным коэффициентом имеет хотя бы
один вещественный корень.
Следствие: Уравнение четной степени с вещественным коэффициентом может и не иметь
вещественных корней.
При этом: =
= = .
Итог:
Если многочлен с вещественными коэффицциентами (, )
То: причем , , .
Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами (причем квадратичные множители не имеют вещественных корней) называется разложением многочлена на неприводимые множители.
§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
I. . 1) – нет решений;
2) , – бесконечно много решений;
3) , – единственное решение.
II. , () .
III. , (). Перейдем к приведенному кубическому уравнению:
, и произведем замену неизвесной: .
тогда: ; ; ,
.
Подставляя полученные выражения в уравнение, получим:
.
Получается неполное кубическое уравнение, в котором
; .
Решение получившегося неполного кубического уравнения ищем в виде: .
Тогда
И, следовательно: .
Положив , получим систему уравнений .
т.е. и являются корнями квадратного уравнения .
Решая это уравнение, найдем
; .
Полученные три значении и три значения не могут суммироваться в произвольных сочетаниях. Они должны удовлетворять соотношению . Оказывается, есть ровно три пары и , удовлетворяющих этому соотношению.
Отсюда , Найдены три корня кубического уравнения.
.
Это и есть формулы Кардано для нахождения корней кубического уравнения.
Пример 1. Решить уравнение .
Полагая , получим неполное кубическое уравнение . К этому уравнению можно применить формулы Кардано. Здесь , поэтому
.
Одним из значений этого кубического корня будет число 3. Произведение этого значения на соответствующее ему значение другого кубического корня, входящего в формулу, должно равняться числу , т.е. в нашем случае равняться числу (–3). Искомым значением второго корня будет, следовательно, число (–1) и поэтому . Разделив неполное уравнение на () , получим квадратное уравнение с корнями .
Тогда корнями исходного кубического уравнения будут:.
Пример 2. Решить уравнение .
Здесь . Тогда:
.
Корнями данного кубического уравнения будут .
Решение этого уравнения показывает, что далеко не всегда корни кубического уравнения (даже если они вполне благополучные) удается найти так просто, как хотелось бы.
-
Рассматриваем уравнение четвертой степени:
, .
Мы приведем решение, полученное Феррари.
Приведенное уравнение имеет вид: .
Осуществляя замену переменной: ; , получим неполное уравнение четвертой степени: .
Запишем уравнение в виде: .
Введем параметр так, чтобы:
.
Потребуем , чтобы было полным квадратом, тогда идея
состоит в том, чтобы представить полученное уравнение в виде разности квадратов
, с последующим разложением его в произведение и решением получившихся квадратных уравнений.
Для реализации этой идеи дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.
. Тогда
.
и для нахождения имеем кубическое уравнение: .
При этом, если ; и если ;
т.е. уравнение обязательно имеет положительный корень.