§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
1. Неравенство Иенсена.
Для функции выпуклой на промежутке I , по определению, выполняется неравенство:
,
если
,
.
Оказывается,
для выпуклой функции верно и более общее
неравенство:
,
если
и
.
∆. При n = 2 неравенство для выпуклой функции справедливо (по определению). Допустив, что неравенство справедливо при n, рассмотрим:
=
=
.
т.е. неравенство доказано с помощью метода математической индукции. ▲
Если
поставить цель снять требование
,
то неравенство Иенсена можно записать
в виде:
.
В случае вогнутой функции знак неравенства изменится на противоположный.
Физическая интерпретация – центр масс системы материальных точек, лежащих на выпуклой вверх дуге лежат не |выше точки кривой с той же абсциссой.
2. Неравенство Коши.
Т.к.
функция y = lnx
выпукла вверх, (
),
то по неравенству Иенсена:
.
Положив
,
получим
.
Тогда
,
,
.
3. Неравенство Янга (Юнга).
Для выпуклой функции верно неравенство
,
для
,
Положим
.
Тогда:
,
если
.
4. Неравенство Гёльдера.
Положим
,
при
.
,
для
.
Неравенство меняется на противоположное, если pq < 0.
5. Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.
Из неравенства Гёльдера следует, что
или,
что тоже:
(для
).
В
общем случае:
.
6. Неравенство Минковского.
.
§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
-
совпадение или подобие с графиками известных функций.
1. Область определения функции, четность, нечетность, периодичность.
Def.
Множество значений аргумента, для
которых определено значение функции
называется областью определения функции
и обозначается
.
Def.
Функция
называется четной, если
.
График четной функции симметричен относительно оси абсцисс.
Def.
Функция
называется нечетной, если
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Def.
Функция
называется периодической, если существует
,
такое что
.
2. Поведение функции на границах области определения. Асимптоты.
Исследование включает в себя определение характера точек разрыва функции и ее поведения на бесконечности. Для этого находятся соответствующие пределы.
Правило 1. Если
при
(т.е. к конечному значению) функция
,
то функция имеет вертикальную асимптоту
(
).
Правило 2. Если
при
функция
(т.е. к конечному значению), то функция
имеет горизонтальную асимптоту (
).
Правило 3. Если
при
функция
,
то возможно, что функция имеет наклонную
асимптоту (
).
∆ Для получения
необходимых и достаточных условий
существования наклонных асимптот
рассмотрим следующий предел, который
для асимптоты
,
по определению, равен нулю.
.
.
Итак, для того,
чтобы функция
имела наклонную асимптоту вида
,
необходимо и достаточно чтобы существовали и были конечны следующие два предела:
,
.
Аналогично:
необходимым и достаточным условием
существования асимптот вида
является существование и конечность
следующих пределов:
,
,
.
Не
составляет большого труда получить
необходимые и достаточные условия
существования асимптот более сложного
вида, скажем вида
или
и др. ▲.
3. Пересечение графика функции с осями координат, промежутки знакопостоянства функции.
Вычислив значение
функции в точке
получим координаты точки пересечения
графика функции с осью ординат.
Решая уравнение
найдем координаты точек пересечения
графика функции с осью абсцисс. Зная
эти точки и точки, которые не входят в
область определения функции, с помощью
метода интервалов, находим промежутки
знакопостоянства функции.
4. Построение первого эскиза графика.
5.
Нахождение производной
функции.
6. Нахождение критических точек функции, т.е. точек в которых производная функции не существует или равна нулю. Эти точки являются точками «подозрительными» на экстремум, если, конечно, они принадлежат области определения.
7.
Зная критические точки функции, с
помощью метода интервалов, устанавливаем
промежутки монотонности функции. Функция
возрастает на промежутках, на которых
и убывает на промежутках, на которых
.
8. Для критических точек проверяем достаточные условия экстремума функции.
Если при возрастании аргумента производная функции меняет знак с «+» на «–», то в данной точке функция имеет максимум, если же при возрастании аргумента производная функции меняет знак с «–» на «+», то в данной точке функция имеет минимум. Если исследование поведения знака производной в окрестности точки вызывает значительные технические трудности, проверка достаточных условий экстремума функции может быть отложено до нахождения второй производной.
9.
Нахождение второй производной
функции.
10. Проверка достаточных условий экстремума функции. Если в критической точке вторая производная функции положительна то функция в этой точке имеет минимум. Если в критической точке вторая производная функции отрицательна то функция в этой точке имеет максимум.
11. Если на промежутке вторая производная функции положительна то функция вогнута (выпукла вниз). Если на промежутке вторая производная функции отрицательна то функция выпукла (выпукла вверх).
12. Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю или не существует, а в окрестности этой точки меняет знак, то в этой точке функция имеет точку перегиба.
13. Контрольные точки графика и окончательный эскиз графика функции.
NB: Схема – не догма! Схема – руководство к действию!