- •Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет связок þ и û, и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.
- •§ Кванторы
- •§ Элементы теории множеств
- •§ Операции над множествами
- •§ Операции соответствия между множествами
- •Физические типы соответствий:
- •Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум. Пример: Множество вещественных чисел r является множеством мощности континиум.
- •Раздел 2. Предел и непрерывность § грани числовых множеств
- •§ Расположение точек относительно множества
- •§ Предел функции по коши Рассматриваются числовые функции числового аргумента:
- •Запишем еще раз определение предела функции на языке e-d:
- •Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что:
- •Запишем теперь сокращенное определение того, что f (X) ® b при X ® а на языке e-d:
- •Словарик
- •§ Непрерывность функции
- •§ Непрерывность элементарных функций
- •Примеры элементарных функций:
- •§ Предел последовательности
- •Примеры:
- •Раздел 3. Бесконечно малые и др. Величины § определения, терминология и примеры
- •Раздел 4. Непрерывные функции
- •§ Частичные пределы
- •§ Предельный переход в равенствах и неравенствах
- •§ Непрерывность тригонометрических функций
- •Раздел 5. Замечательные пределы § Первый замечательный предел
- •§ Арифметические действия над монотонными функциями.
- •§ Бином Ньютона
- •§ Предел функции по гейне ( по последовательности)
- •§ Второй замечательный предел
- •§ НепрЕрывность показательной функции
- •§ НепрЕрывность логарифмической функции
- •§ Пределы, связанные с показательными, логарифмическими и степенными функциями
- •§ Степенные асимптотические разложения
- •§ Действия над асимптотическими разложениями.
- •§ Асимптотические разложения Маклорена для основных элементарных функций
- •§ Теорема о вложенных промежутках (Коши-Кантора)
- •§ Теорема (Бореля-Лебега) о конечном покрытии.
- •§ Теорема о предельной точке
- •§ Критерий Коши
- •§ Теорема штольца
- •§ Односторонняя непрерывность
- •§ Классификация точек разрыва
- •§ Разрывы монотонной функции.
- •§ Гиперболические функции.
- •§. Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности.
- •§. Функциональные уравнения
- •Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
- •§. Производная
- •§. Дифференциал
- •§. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§.Таблица производных высших порядков
- •§. Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)
- •§. Логарифмическая производная
- •§. Высшие производные сложных функций
- •§. Дифференциалы высших порядков
- •§. Высшие производные функций заданных параметрически
- •§. Высшие производные обратных функций
- •§. Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции
- •Раздел. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§. Формула и Многочлен Тейлора
- •§ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
- •§ Остаточный член в форме Шлёмильха – Роша
- •§ Еще несколько полезных разложений.
- •§ Дифференцирование неравенств.
- •§ Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.
- •§. Достаточное условие экстремума.
- •§ Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •§. Пример вычисления предела с помощью формулы Тейлора.
- •§ Выпуклость (вогнутость функций).
- •§ Некоторые замечательные неравенства математического анализа.
- •1. Неравенство Иенсена.
- •§ Применение производных к исследованию свойств функций и построению их графиков. Общая схема.
- •§ Примеры построения графиков функций.
- •§. Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit.
- •§. Поле комплексных чисел. Поле комплексних чисел.
- •§. Свойства элементов поля.
- •§ Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •§ Извлечение корней натуральных степеней из комплексного числа.
- •§ Стереографическая проекция. Сфера Римана.
- •§ Формулы Эйлера.
- •§ Показательная форма записи комплексного числа. Логарифм в комплексной плоскости.
- •§. Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности.
- •§ Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
- •§ Теорема Безу.
- •§ Разложение многочлена на множители в множестве комплексных чисел.
- •§. Комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
- •§ Решение алгебраических уравнений 1, 2, 3, 4 степени. Формулы Кардано. Метод Феррари.
- •§. Теорема Абеля.
- •§. Еще о функциях комплексного переменного.
- •Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.
- •§ Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •§. Интегрирование простейших (элементарных) дробей.
- •§. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •§. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла.
- •§. Интегрирование некоторых иррациональностей.
- •§. Интегрирование выражений, рациональным образом выражающихся через тригонометрические и гиперболические функции.
- •§ Эллиптические интегралы. Введение.
- •II. . Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла к каноническому виду.
- •§. Эллиптические интегралы.
- •§. Интегралы, которые не могут быть выражены, через элементарные функции (не берущиеся интегралы ).
- •4. Интегральные синус и косинус: .
- •Элементы элементарной математики
- •Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.
- •Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.
- •Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений.
- •Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
- •Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.
- •Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.
- •Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.
- •Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.
- •§10. Векторы, операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проекции векторов. Примеры использования векторов в задачах физики.
- •§11. Уравнение прямой на плоскости в векторной форме.
- •Варианты контрольных работ
- •Дополнение 1 Вещественные числа
- •Сечения множества рациональных чисел
- •Перерізи множини раціональних чисел.
- •Сравнение сечений множества рациональных чисел
- •Порівняння перерізів множними раціональних чисел.
- •Теоремы об аппроксимации вещественных чисел рациональными
- •Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними.
- •Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)
- •Теорема Дедекінда (непрерівність множини дійсних чисел).
- •Сложение вещественных чисел
- •Додавання дійсних чисел
- •Произведение вещественных чисел
- •Дополнение 2 Исчисление высказываний
- •II. Правила построения формул ив.
- •III. Правила вывода ив
- •IV. Аксиомы ив.
- •V.Вывод
- •VI .Интерпретации
- •Математическая логика. Mathematical Logic Математична логіка
- •Формальный язык (аксиоматическая теория) и метаязык
- •Знаки, знакосочетания, алфавит.
- •Знаки, знакосполучення, алфавіт
- •Операции над словами
- •Операції над словами.
- •Выражения формального языка
- •Вирази формальної мови
- •Структурные знаки формального языка
- •Структурні знаки формальної мови
- •Переменные и константы (постоянные)
- •Зминні та сталі (константи)
- •Дополнение 3 Теорема про граничный переход в равенстве.
- •Дополнение 4 § теория пределов
- •Непрерывность и дифференцируемость
Модуль непрерывности.
Def. Модулем непрерывности на множестве Х называется
Т. Функция равномерно непрерывна на множестве Х тогда и только тогда, когда её модуль непрерывности имеет предел равный нулю при .
§. Функциональные уравнения
1. Задача: найти все непрерывные функции , удовлетворяющие функциональному уравнению: . а) б)
в)
……………………………….
г) Тогда .
Т.е. .
д) Пусть иррационально. Построим последовательность .
Для нее, из непрерывности функции, получим .
С другой стороны, из свойства г) следует, что .
Из последних, двух равенств следует, что . е) В последнем равенстве положим .
ж) Обозначая , получаем искомое
. Итак
Единственной функцией определенной и непрерывной для и удовлетворяющей функциональному уравнению является линейная однородная функция .
Без вывода приведем еще ряд очень важных функциональных уравнений
2.
3.
4.
5. .
Эти функциональные уравнения впервые в непрерывных функциях были решены Коши.
Раздел . Дифференциальное исчисление §. Дифференцируемость функции
Пусть внутренняя точка области определения.
Def . Функция называется дифференцируемой в точке x если:
и А не зависит от .
Если функция дифференцируема, то ее приращение имеет главную часть .
F. Если функция дифференцируема , то она непрерывна т.к. при .
(но ….. не наоборот).
Def . Функцию назовем дифференцируемой справа (слева) если
.
Здесь ().
Пусть дифференцируема
.
F. Если дифференцируема в точке то она дифференцируема справа и слева в этой точке и (и наоборот).
Пример: Функция в нуле не дифференцируема.
Если дифференцируема в точке, то в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде суммы линейной функции от плюс бесконечно малая более высокого порядка, чем .
§. Производная
Def . .
Односторонние производные: .
Функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда она имеет равные между собой правую и левую производные.
F. Если дифференцируема то она имеет производную и наоборот.
∆ Пусть дифференцируема: .
Разделим обе части равенства на : .
Теперь устремим к нулю: ,
И тогда: . ▲
Примеры:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ; производной в нуле функция не имеет.
§. Дифференциал
Def . Дифференциалом функции в точке называется главная линейная по приращению аргумента часть приращения функции:
.
Записанная формула называется формулой инфинитезимальных (бесконечно малых) приращений.
§. Геометрическая и физическая интерпретация производной и дифференциала
Геометрический смысл производной: Производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции , проведенной через точку графика с абсциссой .
.
Физический смысл производной: Производная функции в точке численно равна мгновенной скорости изменения функции при значении аргумента равном .
Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции в точке численно равен линейному приращению функции в точке .
§. Производная суммы, произведения и частного дифференцируемых функций
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Все эти формулы могут, без большего труда, доказаны.
§. Дифференцирование сложной функции
Пусть заданы функции и . Суперпозицией этих двух функций называется функция .
Для дифференцирования суперпозиции двух функций запишем
.
Переходя к пределу при , получаем: .
Другие формы записи той же формулы:
.
Формула эта называется цепным правилом дифференцирования сложной функции.
§. Дифференцирование обратной функции
Т. Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и существует производная этой функции в т. не равная нулю, то в некоторой окрестности точки определена обратная функция непрерывная, строго монотонная и имеющая производную в точке , причем:
∆ ▲ .
§. Таблица производных
Таблицу производных надо знать !
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
Таблицу производных надо знать !
§. Доказательство формул дифференцирования
1.
2. .
3. . 4. ;
; .
5. ;
.
6. ;
.
7. ;
.
8. ;
.
9. ;
.
10. ;
.
11. ;
.
12. ;
.
13. Пусть
и пусть . Производная нечетной функции есть функция четная, а производная четной функции – функция нечетная.
14. . Производная периодической функции есть функция периодическая.
Производная непериодической функции – может быть функцией периодической: .