Раздел. Неопределенный интеграл § Первообразная и неопределенный интеграл.

Def. Уравнение которое, кроме неизвестной функции и аргумента, содержат и производные искомой функции конечных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Причем высший порядок производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.

- неявное дифференциальное уравнение n-го порядка.

- явное дифференциальное уравнение n-го порядка.

Def. Частным решением дифференциального уравнения на невырожденном промежутке Х, называется любая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на этом промежутке. Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется общим решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим явное дифференциальное уравнение первого порядка:

Любое частное решение указанного уравнения называется первообразной функции и обозначается т.е. .

Example:

1˚. Если , то (т.к. ).

2˚. Если , то (т.к. ).

Из примеров видно, что одна и та же может иметь не одну первообразную.

Теорема (об общем виде первообразной). Если и две первообразные одной функции , то .

Δ ▲.

F˚. Первообразная функции на промежутке является первообразной этой же функции на любом невырожденном подпромежутке.

Def .Общее решение дифференциального уравнения называется неопределенным интегралом от функции (обозначается )

При этом:

Связь неопределенного интегрирования и дифференцирования:

1˚. ; 2˚. ; 3˚. .

Линейность неопределенного интеграла:

, .

§. Таблица неопределенных интегралов.

Таблицу интегралов надо знать!

Все формулы данной таблицы проверяются непосредственным дифференцированием.

1˚. ; 2˚. ;

3˚. ; 4˚. ;

5˚. ; 6˚. ;

7˚. ; 8˚. ;

9˚. ; 10˚. ;

11˚. , (); 12˚. , (); 13˚. ; 14˚. ;

15˚. ; 16˚. ;

17˚. ;

18˚. ;

19˚. ; 20˚. ;

21˚. ; 22˚. ;

23˚. ;

24˚. ;

25˚. , .

Таблицу интегралов надо знать!

§ Замена переменной в неопределенном интеграле.

(*)

(*) Формула замены переменной в неопределенном интеграле. При этом переход слева направо называется подстановкой, а справа налево – введением нового аргумента.

Примеры.

1˚. ;

2˚. ;

3˚. ;

4˚.

.

§. Формула интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям: получается из формулы для дифференциала произведения, с последующим интегрированием правой и левой части.

  .

Примеры.

1˚. ;

2˚. Многократное применение:

;

3˚. Рекуррентные формулы (формулы понижения):

(При этом: ).

4˚. Получение уравнения для данного интеграла:

=

= =

= .

Получено уравнение: , из которого

, т.е. .