§14. Начисление процентов в условиях налогообложения

Обозначим через S_n наращённую сумму до уплаты налога, через C − после уплаты налога, при этом ставка налога будет равна g.

Рассмотрим процесс определения суммы налога взимаемого с наращённой суммы S_n.

При начислении простых процентов сумма налога определяется следующим образом:

I · g = (S_n – P₀) · g

Следовательно, для получения суммы после вычета налога следует из наращённой суммы до уплаты налога вычесть процент, умноженный на ставку налога:

C = S_n – (S_n – P₀) · g = S_n – S_n g + P₀ g = S_n (1 – g) + P₀ g = = P₀  (1 + n i) (1 − g) + P₀ g = P₀ (1 – g + n i – g n i) +  P₀ g  =  = P₀ – P₀ g + P₀ n i – P₀ g n i +  P₀ g  = P₀ + P₀ n i – P₀ g n i  =  = P₀ (1 +  n i – g n i) = P₀ [ 1 + n (1 – g) i].

Итак,

C = P₀ [1 + n (1 – g) i]. (1.14.1)

Таким образом, результатом учёта налога является соответствующее сокращение процентной ставки, т.е. необходимо вместо ставки i применить ставку (1 − g) i.

В случае, когда используется начисление процентов по сложной процентной ставке можно либо получить налог за весь срок сразу, либо за каждый год отдельно. Второй случай применяется, когда налоговая ставка меняется каждый год.

Сумма налога в первом случае за весь срок равна

(S_n – P₀) g = (P₀ (1 + i)ⁿ – P₀) g = P₀ [(1 + i )ⁿ – 1] g, (1.14.2)

Наращенная сумма после выплаты налога вычисляется следующим образом

С = S_n – (S_n – P₀)g = S_n – S_n g + P₀ g = S_n (1 – g) + P₀ g= = P₀ (1 + i )ⁿ (1 – g) + P₀ g= P₀ [(1+i)ⁿ (1 – g) + g].

Таким образом,

С = P₀ [(1+i)ⁿ (1 – g) + g]. (1.14.3)

Во втором случае сумма процентов будет расти каждый год и сумма налога будет меняться.

Обозначив сумму налога за год t через G_t можно представить её следующим выражением:

G_t = I_t g = (S_t – S_t-1) g= [P₀ (1 + i)^t − P₀ (1 + i)^t–1]g =

= P₀ [(1 + i) ^t − (1 + i) ^t–1]g. (1.14.4)

При постоянной процентной ставке сумма, рассчитанная первым способом, будет равна сумме налогов рассчитанных за соответствующие годы вторым способом.

Глава 2. Потоки платежей

§1. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей

Поток платежей представляет собой распределенную во времени последовательность платежей, где членом потока является сумма отдельного платежа. Для наращения и дисконтирования членов потока применяется сложная процентная ставка потока платежей.

Поток платежей называется конечным, если число платежей в нем конечно, и бесконечным, если срок действия потока неограничен.

Если платежи поступают через одинаковые промежутки времени и имеют одно и то же назначение (имеют одинаковый знак), то такой поток называется регулярным. Регулярные финансовые потоки называют также финансовыми рентами.

Члены нерегулярного потока могут быть как положительными, так и отрицательными, временные интервалы между членами потока неодинаковы, а размеры платежей не подчиняются какому-либо временному закону.

Сумма всех членов потока, приведенных к моменту времени t называется стоимостью потока платежей P(t) в момент t  [0,T] и находится по формуле:

где R_k, члены потока платежей, поступающие соответственно в моменты t₁, t₂,…, t_n, где 0 ≤ t₁ < t₂ <…< t_n ≤ T, T − срок действия потока, F(t_k, t) − множитель наращения k-го платежа на временном отрезке [t_k, t] (t > t_k, где k = 1, 2, …, m) по процентной ставке потока, ν(t, t_k) − дисконтный множитель k-го платежа на отрезке [t, t_k] (t < t_k, k = m + 1,…, n) по процентной ставке потока. Вид множителя наращения и дисконтного множителя определяется процентной ставкой потока.

Сумма всех членов потока, приведенных к моменту t = 0, называется современной стоимостью потока платежей A и находится по формуле:

где ν(t_k) - дисконтный множитель k - го платежа на отрезке [0, t_k] по процентной ставке потока. Причём сумма A в момент t = 0 по процентной ставке потока эквивалентна всей совокупности платежей этого потока.

Сумма всех членов потока с начисленными на них процентами к концу срока потока T называется наращенной суммой потока платежей S и находится по формуле:

где F(t_k, T) - множитель наращения k-го платежа на отрезке [t_k, T] по процентной ставке потока. Сумма S в момент t = T по процентной ставке потока эквивалентна всей совокупности платежей этого потока.

Стоимость потока в момент t можно представить в виде:

где R_k v(t_k) F(t) − приведенная к моменту t величина k-го платежа, F(t) − множитель наращения на временном отрезке [0, t]. Выражение (4) можно переписать в виде:

P(t) = A F(t), (2.1.5)

т.е. стоимость потока платежей P(t) в момент t − это результат наращения его современной стоимости A к моменту t по процентной ставке потока.

При t = T получается связь между наращенной суммой S и современной стоимостью A потока платежей:

S = A F(T). (2.1.6)

Доходность потока платежей за единицу времени − это ставка сложных процентов r, по которой современная стоимость потока платежей равна P:

Доходность потока платежей также называется внутренней доходностью потока платежей.

Современная стоимость и наращенная сумма потока платежей при непрерывной выплате денег с интенсивностью выплат в единицу времени f(t) в момент t определяются по формулам:

где v(t) - дисконтный множитель на отрезке [0, t], F(t,T ) - множитель наращения на отрезке [t, T].

Пусть имеется серия поступающих платежей a₁, a₂ ,…, a_n в моменты t₁ , t₂,…, t_n и серия расходов b₁, b₂ ,…, b_n в те же моменты времени, тогда доходность за единицу времени определяется как ставка сложных процентов r, по которой современная стоимость потока расходов равна современной стоимости потока доходов:

Данное уравнение можно переписать в следующем виде, которое называется уравнением доходности денежного потока:

где R_k = a_k  – b_k , k = 1, 2,…, n,

При непрерывном денежном потоке, поступающего в течение времени [0, T], уравнение доходности имеет вид:

Уравнение доходности для непрерывно-дискретного потока платежей следующее: