§2. Финансовые ренты и их классификация

Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой.

Основные параметры ренты:

• член ренты - сумма отдельного платежа;

• период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

• срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего;

• процентная ставка ренты - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов ренты;

• m - число начислений процентов в году на члены ренты;

• p - число платежей в году.

Если члены ренты выплачиваются раз в год, то рента называется годовой.

Если члены ренты выплачиваются p раз в году (p > 1), то рента называется p-срочной.

Если платежи поступают столь часто, что можно считать p  , то ренту называют непрерывной.

Рента называется постоянной, если члены ренты одинаковы и не изменяются во времени.

Рента называется переменной, если члены ренты изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом.

Если платежи производятся в конце каждого периода ренты, то рента называется обычной или постнумерандо.

Рента с платежами в начале каждого периода называется рентой пренумерандо.

§3. Формулы наращённой суммы

Рассмотрим p-срочную ренту при p  1, m 1, причём p  m. Члены ренты выплачиваются p раз в году, начисление процентов происходит m раз в году. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты . Формула наращённой суммы в этом случае имеет вид:

(2.3.1)

Рассмотрим обычную годовую ренту: p = 1, m =1. Сумма R вносится на расчётный счёт в конце каждого года, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i:

(2.3.2)

Рассмотрим годовую ренту с начислением процентов m раз в году. Платежи производятся один раз в год, проценты начисляются m раз в году, т.е. используется номинальная процентная ставка:

(2.3.3)

Рассмотрим p-срочную ренту, где m = 1: рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Т.к. годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается сумма :

(2.3.4)

Рассмотрим p-срочную ренту, где p = m: число платежей в году p совпадает с числом начислений процентов m:

(2.3.5)

§4. Формулы современной величины

p-срочная рента при p  1, m 1, причём p  m. Члены ренты выплачиваются p раз в году, начисление процентов происходит m раз в году. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты . Формула современной стоимости имеет вид:

(2.4.1)

Обычная годовая рента: p = 1, m =1. Сумма R вносится на расчётный счёт в конце каждого года, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i:

(2.4.2)

Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Платежи производятся один раз в год, проценты начисляются m раз в году, т.е. используется номинальная процентная ставка:

(2.4.3)

p-срочная рента, где m = 1: рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Т.к. годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается сумма :

(2.4.4)

p-срочная рента, где p = m: число платежей в году p совпадает с числом начислений процентов m:

(2.4.5)

При непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год современная стоимость имеет вид:

(2.4.6)

Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты A_t определяется по следующей формуле:

A_t = v(t)·A (2.4.7)

где v(t) − дисконтный множитель k-го платежа на временных отрезках [0, t] соответственно.