- •Алгебра и теория чисел
- •Предисловие
- •Тема 1. Матрицы. Простейшие способы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Метод Гаусса (простейшая версия)
- •2. Правило Крамера
- •3. Метод применения обратной матрицы
- •Тема 2. Линейное пространство. Базисы. Координаты
- •Тема 3. Линейный оператор. Матрица в данном базисе. Собственные векторы и собственные значения
- •Тема 4. Функционалы
- •1. Линейные функционалы
- •Билинейные функционалы
- •3. Квадратичные функционалы
- •Тема 5. Методы отражения и вращения решения слау
- •1. Метод отражения.
- •2. Метод вращения
- •Тема 6. Метод гаусса (полная версия)
- •Контрольная работа
- •Пример варианта контрольной работы
- •Расчетно-графическая работа
- •Вопросы к зачету
2. Метод вращения
Идея этого метода также состоит в получении на необходимых местах у матрицы системы нулей, но с помощью операторов поворота в плоскостях Ох1х2, Ох1х3, Ох2х3. Соответствующие матрицы поворотов легко получаются из матрицы (18):
Вместо (31) за три шага получим систему
(Т3Т2Т1 А)Х= Т3Т2Т1 В, (33)
матрица которой имеет ступенчатый вид.
Покажем, как определить в общем случае для n=3 угол поворота (точнее требуемые значения cos1 и sin1), позволяющий получить нуль на месте (2,1) у матрицы системы. Пусть
где а210 (если а21=0, то поворот в плоскости Ох1х2 не нужен), мы учли, что третья строка в новой матрице А1 совпадает с третьей строкой исходной матрицы А.
Имеем 0=а21(1)=sin1a11+cos1a21, те. . Можно выбрать угол 1 так, что
=, т.е. выбрать знак sin1 такой же, как у числа a21. Тогда cos1= (cos1=ctg1 sin1).
Итак,
sin1=, cos1=. (34)
Формулы (34) дают возможность провести первый шаг метода вращения. Другие шаги проделываются аналогично: А2=Т2А1, А3=Т3А2= Т3Т2 Т1 А – матрица заключительной системы (33).
Тема 6. Метод гаусса (полная версия)
Здесь мы опишем алгоритм Гаусса для произвольных СЛАУ: в примере 1 была рассмотрена его простейшая версия.
Первый шаг состоит в получении у матрицы А:В первого столбца в виде . В случае а110 этого легко добиться с помощью преобразований G 3). Если же а11=0, то можно поменять строки так, чтобы новый .
Второй шаг (аналогично, общий шаг) отличается от первого шага тем, что возможна ситуация, когда с помощью преобразований строк не удается добиться, чтобы . В этой ситуации второй столбец можно поменять местами с одним из следующих, чтобы добиться искомого требования . Единственный случай, когда этого невозможно добиться, когда на каком-то шаге мы получаем матрицу вида
.
Возможны два варианта.
I вариант.
Все b'k+1,…,b'm равны нулю. Отбрасываем «нулевые» уравнения Получаем требуемую ступенчатую матрицу.
II вариант.
Найдется хотя бы одно из чисел b'k+1,…,b'n, отличное от нуля. В этом случае СЛАУ решений не имеет.
Таким образом в случае, когда СЛАУ имеет решения, ее расширенную матрицу А:В можно привести к ступенчатому виду:
.
Тогда решение СЛАУ (3)
, (35)
где определение и способ вычисления Хоо показаны в примере 5, значения находятся как в примере1 из решения системы, имеющей расширенную матрицу
.
Пример11. Решить СЛАУ методом Гаусса
.
Решение. Приведем сначала расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
и шаг I состоит в применении двух преобразований G 3): ; шаг II состоит в перестановке второго и третьего столбцов, при этом мы должны запомнить, что с этого момента второй столбец-столбец коэффициентов при переменной х3 (а третий столбец – при х2); шаг III состоит в применении преобразования G 3): , наконец, шаг IV – отбрасывание нулевой строки.
Переменные х1, х3 – основные, х2, х4, х5 дополнительные.
1. Пусть все дополнительные переменные равны нулю, т.е. х2=х4=х5=0. Для нахождения х1 и х3 решим систему
2. Теперь найдем Хоо, решая однородную систему
(36)
аналогично примеру 5.
Найдем базисные решения
Пусть х2 =1, х4=0, х5=0. Система (36) примет вид
Найдем при х2=0, х4=1, х5=0:
Наконец, найдем при х2=0, х4=0, х5=1:
3. По формуле (35) окончательно
,
где С1, С2, С3 – любые вещественные числа.
Приведем в заключение примерную тематику контрольной работы, варианты расчетно-графической работы и вопросы к зачету.