- •Алгебра и теория чисел
- •Предисловие
- •Тема 1. Матрицы. Простейшие способы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Метод Гаусса (простейшая версия)
- •2. Правило Крамера
- •3. Метод применения обратной матрицы
- •Тема 2. Линейное пространство. Базисы. Координаты
- •Тема 3. Линейный оператор. Матрица в данном базисе. Собственные векторы и собственные значения
- •Тема 4. Функционалы
- •1. Линейные функционалы
- •Билинейные функционалы
- •3. Квадратичные функционалы
- •Тема 5. Методы отражения и вращения решения слау
- •1. Метод отражения.
- •2. Метод вращения
- •Тема 6. Метод гаусса (полная версия)
- •Контрольная работа
- •Пример варианта контрольной работы
- •Расчетно-графическая работа
- •Вопросы к зачету
Тема 3. Линейный оператор. Матрица в данном базисе. Собственные векторы и собственные значения
Определение 3. Матрицей линейного оператора Т в базисе называется матрица
, (16)
столбцы которой – столбцы координат векторов в базисе .
Мы рассмотрим два главных примера нахождения подобных матриц, имеющих отношение к основной задаче курса – решению СЛАУ (3).
Пусть L=Vect3, , Т - оператор отражения относительно плоскости
П : Ах+Ву+Сz=0.
Для любого , где - нормальный вектор плоскости П, - проекция вектора на вектор .
Имеем
аналогично
Поэтому по формуле (16), обозначая =А2+В2+С2:
. (17)
Матрица (17) называется матрицей отражения. Ее по аналогии несложно написать для L=Rn.
Пусть теперь L=Vect2, , Т - оператор поворота вектора на угол относительно начала координат. Очевидно, .
По формуле (16)
(18)
Матрица (18) называется матрицей поворота.
Определение 4. Собственным вектором оператора Т, отвечающим собственному значению , называется ненулевой вектор такой, что
Т(а)=а. (19)
Так как для любого базиса , то равенство (19) можно записать в матричном виде
АХ=Х, (20)
где А=(Т), .
Из равенства (20) несложно получить равенство (А-Е)Х=0. Если | А-Е |0, то существует обратная матрица (А-Е)-1, а тогда по формуле (6) при В=0 получим Х=( А-Е)-10=0. Но Х0, поэтому необходимо
| А-Е |=0. (21)
Уравнение (21) называется характеристическим уравнением для матрицы А. Это уравнение является алгебраическим уравнением степени n. В случае, если это уравнение имеет n различных вещественных корней 1, 2, …, n, то можно найти базис F={f1,…, fn}, состоящий из соответствующих собственных векторов (Т(f1)=1f1,…, T(fn)=nfn). А тогда
-
- диагональная матрица. Эту ситуацию мы рассмотрим на примере в следующей теме (см. пример 9).
Тема 4. Функционалы
В этой теме мы рассмотрим три вида функционалов: линейные, билинейные и квадратичные.
1. Линейные функционалы
Определение 5. Отображение : LR, где L – линейное пространство, называется линейным функционалом, если (a+b)=(a)+(b) для любых a,bL, (a)=(a) для любых аL, R.
Определение 6. Строкой координат линейного функционала в базисе ={e1,…, en} называется строка
. (22)
Пример 6. Найти строку координат линейного функционала , где , базис .
Решение. Применим формулу . Тогда
. По формуле (22) при n=3
-
Билинейные функционалы
Определение 7. Отображение : LLR (т.е. (а,b)R для любых a,bL) называется билинейным функционалом, если выполняются четыре свойства линейности (см. определение 5):
-
(а1+а2, b)=(a1, b)+(a2, b);
-
(а, b)=(a, b);
-
(а, b1+b2)=(a, b1)+(a, b2);
-
(a, b)=(a, b).
Простейшим (и главным!) примером билинейного функционала является скалярное произведение векторов:
L=Vect3, для .
Билинейный функционал (а, b) называется симметричным, если для всех а,bL выполняется равенство
( b, а)= (a, b).
В частности, скалярное произведение векторов является симметричным билинейным функционалом, т.к. .
Определение 8. Матрицей билинейного функционала (a, b) в базисе ={e1,…, en} называется матрица вида
(23)
Для симметричного билинейного функционала матрица (23) является симметричной. Справедлива следующая теорема, с помощью которой можно вычислить значение (a, b).
Теорема 3. Справедлива формула
(24)
где - произвольный базис линейного пространства L, (a, b) – билинейный функционал, a, bL.
Нам далее будет полезна еще одна теорема, позволяющая вычислять матрицы линейного оператора и билинейного функционала при заменах базисов.
Теорема 4. Справедливы формулы
(Т)F=С-1(Т)С, (25)
()F=СТ()С, (26)
где С – матрица перехода от базиса к базису F, вычисленная по формуле (10).
Формулы (25) и (26) весьма похожи и просто совпадают, если С-1=СТ.
Определение 9. Матрица С называется ортогональной, если выполняется равенство
С-1=СТ. (27)
Итак, если С – ортогональная матрица, то матрицы линейного оператора и билинейного функционала при переходе к новому базису преобразуются одинаково.