1. Последовательности. Определение,
способы задания, действия с последовательностями.
Определение. Если по некоторому
закону каждому натуральному числу
поставлено в соответствие вполне
определенное число
,
то говорят, что задана числовая
последовательность
:
.
Числа
называются членами последовательности,
а число
- общим или
членом последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
- 2, 4, 6, 8, …,
,
… (монотонная неограниченная),
- 1, 0, 1, 0, … (не монотонная, ограниченная).
Закон образования последовательности дается формулой его общего члена (одной или несколькими). Последовательность может быть сформирована также с помощью рекуррентного соотношения или словесного описания общего члена.
Пример. Дана формула общего элемента
последовательности
.
Написать пять первых элементов
последовательности.
Полагая последовательно
в общем элементе
получаем
,
,
,
,
.
Действия с последовательностями:
-сложение последовательностей;
-вычитание последовательностей;
-умножение последовательностей;
-деление последовательностей.
2.Предел последовательности. Сходимость.
Определение. Число
называется пределом числовой
последовательности
,
если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа
,
найдется такой номер
(зависящий от
,
),
что для всех членов последовательности
с номерами
верно неравенство:
.
Предел числовой последовательности
обозначается
или
при
.
Последовательность, имеющая предел,
называется сходящийся, в противном
случае – расходящейся.
3.Свойства сходящихся последовательностей.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.
1.Сходящаяся последовательность ограничена.
2.Пусть
,
,
тогда
,
,
,
.
3.Если
,
и для всех
выполняются неравенства
,
то
.
4.Если
и последовательность
- ограниченная, то
(произведение бесконечно малой на
ограниченную есть бесконечно малая).
4. Бесконечно малые функции и их свойства.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.