15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Свойства дифференциала:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

16. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной порядка называется производная от производной порядка.

Дифференциал второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е. .

Дифференциалом порядка (или дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала порядка этой функции этой функции, т.е..

17. Производные основных элементарных функций.

Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.

Итак, производная степенной функции равна .

Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.

Итак, производная логарифмической функции равна . Если , то .

Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.

Итак, производная функции равна .

Пусть . .

18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.

Теорема Роля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и принимает равные значения на его концах, т.е. , то в интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .

19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причем , то в этом интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .

.

20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то .Доказательство.

и , а также их производные непрерывны в точке , причем и . В этом случае .Применяя теорему Лагранжа для функций и на отрезке , получим , где, .При в силу непрерывности производных и имеем и . Используя теорему о пределе частного получаем равенство .

21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.

Определение. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Определение. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Теорема. Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то - точка максимума.

Определение. Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений , из этого промежутка выполняется неравенство .

Определение. Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений , из этого промежутка выполняется неравенство .

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервал, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема. Вторая производная дважды дифференцируемой в точке перегиба равна нулю, т.е. .

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

рямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если .Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде , где при .

Теорема. Для того чтобы функция имела при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела и .