- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •5. Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9.Непрерывность функции в точке и в интервале. Свойства непрерывных функций.
- •10. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Замечательные пределы. (на примере)
- •11. Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12. Производная функции. Геометрический смысл производной.
- •13. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции (таблица). Понятие о логарифмической производной(порядок логарифмического дифференцирования. Показать на примере)
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29. Интегрирование рациональных функций.
11. Разрывы функций. Классификация разрывов.
Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не
удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся на два типа:
1. к точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы , .
2. к точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и точки скачка функции (когда ).
12. Производная функции. Геометрический смысл производной.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .Пусть на плоскости дана непрерывная кривая и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке рис 1.
Прежде всего, необходимо выяснить, что будет пониматься под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 2 имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. 2 хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке . Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Проведем секущую Уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид .Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден из . Итак, угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке равен пределу углового коэффициента секущей , когда , т.е. .
13. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .
Правило, очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю.
2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции , используя схему вычисления производной.
Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения , , а функция - значение .
Находим приращение функции .
Составляем отношение .
Находим предел этого отношения при , т.е. .
3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .
Пусть и - дифференцируемые функции.
Находим приращение функции .
Составляем отношение .
Находим предел этого отношения при , т.е. .
4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: .
14. Производная сложной и обратной функции (таблица). Понятие о логарифмической производной(порядок логарифмического дифференцирования. Показать на примере)
Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е. .
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .
.