9.Непрерывность функции в точке и в интервале. Свойства непрерывных функций.
Определение. Функция
называется непрерывной в точке
,
если она удовлетворяет следующим трем
условиям: 1) определена в точке
(т.е. существует
);
2) имеет конечный предел функции при
;
3) этот предел равен значению функции в
точке
,
т.е.
.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Если функция
и
непрерывны в точке
,
то их сумма
,
произведение
и частное
(при условии
)
являются функциями, непрерывными в
точке
.
2. Если функция
непрерывны в точке
и
,
то существует такая окрестность точки
,
в которой
.
3. Если функция
непрерывны в точке
,
а функция
непрерывны в точке
,
то сложная функция
непрерывна в точке
.
Определение. Функция
называется непрерывной на промежутке
,
если она непрерывна в каждой точке этого
промежутка.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она ограниченна на этом отрезке.
2. Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она достигает на этом отрезке
наименьшего значения
и наибольшего значения
.
3. Если функция
непрерывна на отрезке
и значение ее на концах отрезка
и
имеют противоположные знаки, то внутри
отрезка найдется точка
такая, что
.
10. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Замечательные пределы. (на примере)
Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.
и
1. Если =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.
3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.
4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Если то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α~ß.
Например, sinx~х при х→0, т.к при x→0, т. к.
Теорема Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Теорема Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Теорема . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
sinx~х при х→0;
tgx~х (х→0);
arcsinх ~ х (х→0);
arctgx~х (х→0);
1-cosx~x2/2 (х→0);
ех-1~х (х→0);
αх-1~х*ln(a) (х→0);
ln(1+х)~х (х→0);
loga(l+х)~х•logaе (х→0);
(1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0);