30. Интегрирование простейших иррациональностей.

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.Обозначим через функцию от переменных и , и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Например, , и т.д.

31. Матрицы: определённые операции(-,+, умножение на число, транспонирование, произведение матриц). Обратная матрица.

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Виды матриц:

- Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) - столбцом.

-Матрица называется квадратной порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

-Матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю.

-Матрица называется единичной, если у диагональной матрицы порядка все диагональные элементы равны единице.

-Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.

Операции над матрицами:

1.Умножение м на число.

2.Сложение матриц.

3.Вычитание матриц.

4.Умножение матриц.

5.Возведение в степень.

6.Транспонирование матрицы

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы,

Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .Теорема (необходимое и достаточное условие обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Найти определитель исходной матрицы. Если , то матрица – вырожденная и обратной матрицы не существует.

Найти матрицу, транспонированную к данной.

1. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.

2. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

3. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, исходя из определении: .

32. Интегрирование функции .

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где . Действительно , ,

33. Определители. Свойства определителей

Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле: .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса: .

Определителем квадратной матрицы порядка, или определителем порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, Свойства определителей:

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножиться на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца.

3.При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

4.При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е. , откуда .

6.Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равен 0.

8.Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9.Сумма произведений произвольных чисел , , …, на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа , , …, .

10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где ;

34. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа о разложении определителей.Рассмотрим интегралы от элементарных функций:

Минор матрицы A ― определитель матрицы, элементы которой стоят в данной прямоугольной матрице порядка k (который называется также порядком этого минора) на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: