- •Системы счисления Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
- •I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
- •Позиционные системы счисления
- •Перевод целой части числа
- •1). Число 2210 перевести в двоичную систему счисления.
- •2).Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления.
- •2). Число 746710 перевести в шестнадцатиричную систему счисления.
- •Перевод дробной части числа
- •2). Числа 380,1875(10) и 115,94(10) перевести в двоичную систему счисления (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).
- •Перевод дробной части числа
- •1). Числа 0,62510 и 0,12510 перевести в двоичную систему счисления.
- •Определить основание системы счисления.
Системы счисления Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
Позиционные и непозиционные системы счисления. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией.
Непозиционные системы счисления.
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем "римской нумерации". Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.
Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.
Позиционные системы счисления
Наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.
Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = a0·pn + a1·pn–1 +... + an–1·p1 + an·p0,
где a0 ... an – это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?
Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
Перевод целой части числа
Если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
Перевод десятичных чисел в другую систему счисления.