- •Интегралы, зависящие от параметра
- •§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •1. Определение интегралов, зависящих от параметра
- •2. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
- •3. Предельный переход под знаком интеграла
- •4 Непрерывность по параметру
- •5. Дифференцирование по параметру
- •6. Интегрирование по параметру
- •§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •1. Равномерная сходимость интегралов
- •2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •§3. Интегралы Эйлера
- •Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
- •Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)
3. Предельный переход под знаком интеграла
Пусть y0- предельная точка множества Y. Поставим вопрос о пределе функции (2) при yy0: -?
Теорема 4. Если функция f(x;y) при фиксированном y непрерывна по х в [a;b] и при yy0 стремится к предельной функции (х) равномерно относительно х, то имеет место равенство:
. (4)
Доказательство.
По теореме 3 функция (х) непрерывна на [a;b]. Следовательно, . По условию f(x;y) непрерывна по х на [a;b], следовательно, она интегрируема по х на [a;b], т.е. .
Т.к. при yy0, то по определению >0 >0: y: | y-y0|<, xX выполнено. Оценим модуль разности:
.
Итак, >0 >0: yY: | y-y0|< выполнено. По определению это значит, что .
Формула (4) может быть записана в виде:
.
В этом случае говорят, что возможен предельный переход по параметру под знаком интеграла.
4 Непрерывность по параметру
I. Случай интеграла (2): .
Пусть Y=[c;d]. Решим вопрос о непрерывности функции (2).
Теорема 5. Если функция f(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных в прямоугольнике [a,b;c,d], то интеграл (2) будет непрерывной функцией параметра y на отрезке [c;d].
Доказательство.
Т.к. f(x;y) непрерывна на замкнутом множестве [a,b;c,d], то она равномерно непрерывна на этом множестве. По определению выполнено .
Положим , тогда при выполнено . Согласно определению функция f(x;y) при yy0 стремится равномерно к функции . Тогда по теореме 4 или . По определению I(y) непрерывна y0[c;d], т.е. на непрерывна [c;d].
II. Случай интеграла (1): .
Теорема 6. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области , функции (y) и (y) непрерывны на [c;d], то функция (1) непрерывна на [c;d].
Доказательство.
Зафиксируем y0[c;d]. Тогда (1) можно записать в виде:
.
В первом интеграле пределы интегрирования постоянны (не зависят от параметра). Следовательно, по теореме 5, при yy0 этот интеграл стремится к .
Оценим остальные два интеграла:
, ,
где . Т.к. функции (y) и (y) непрерывны, то при yy0 (y)(y0), (y)(y0), следовательно, |(y)-(y0)|0, |(y)-(y0)|0, значит, два последних интеграла стремятся к нулю при yy0. Тогда . По определению I(y) непрерывна y0[c;d], т.е. непрерывна на [c;d].
Замечание 1. В силу непрерывности функций (y), (y), f(x;y) утверждение теоремы 6 можно записать в виде:
.
Замечание 2. Утверждения теорем 5 и 6 доказаны в теории двойных интегралов.
5. Дифференцирование по параметру
I. Случай интеграла (2): .
Теорема 7 (правило Лейбница). Пусть функция f(x;y) определена в прямоугольнике [a,b;c,d], непрерывна по х на [a;b] при любом фиксированном значении y[c;d]. Пусть, далее, во всей области существует частная производная , непрерывная как функция двух переменных. Тогда функция I(y) дифференцируема на [c;d] и справедлива формула:
. (6)
Доказательство.
Т.к. f(x;y) непрерывна по х y[c;d], то интеграл (2) определен. Фиксируем y=y0[c;d]. Придадим ему приращение y0: y+y[c;d]. Тогда функция I(y) получит приращение:
.
Т.к. функция f(x;y) непрерывна на отрезке [c;d] и дифференцируема по y, то применим к ней формулу Лагранжа:
. (7)
Тогда
. (8)
Т.к. функция непрерывна на замкнутом прямоугольнике [a,b;c,d], то она равномерно непрерывна на нем. По определению
выполнено .
Полагая и считая , получим: выполнено .
По определению функция равномерно стремится к функции на [a;b] при y 0. Кроме того, функция непрерывна по х на [a;b] (т.к. непрерывна как функция двух переменных на [a,b;c,d]), следовательно, по теореме 4 допустим предельный переход под знаком интеграла:
.
Итак правой части равенства (8) следовательно, левой части равенства (8): . Переходя в равенстве (8) к пределу при y 0, получим . Т.к y0 – произвольная точка из отрезка [c;d], то равенство теорема доказана.
II. Случай интеграла (1): .
Теорема 8. Пусть:
-
функция f(x;y) и её частная производная непрерывны на замкнутом промежутке =[a,b;c,d],
-
,
-
Функции (y) и (y) имеют непрерывные производные на [c;d].
Тогда интеграл (1) имеет производную на [c;d], причем
. (9)
Доказательство.
Рассмотрим функцию , из которой I(y) получается подстановкой u=(y), v=(y). Таким образом, вопрос дифференцирования функции I(y) исчерпывается применением теорем о непрерывности и дифференцировании сложной функции. Покажем, что функции (y;u;v) существуют и непрерывны по совокупности переменных y, u, v.
1) Проверим существование и непрерывность частной производной . Её существование следует из теоремы 7, причем .
Докажем её непрерывность.
Пусть u,v[a;b], u+u[a;b], v+v[a;b], y[c;d]. y+y[c;d]
,
.
Т.к. определена на , то в силу выбора значений аргументов все написанные интегралы имеют смысл и |v-y||b-a|.
Т.к. непрерывна на ,то она ограничена на нем, т.е. .
Тогда , .
Оценим первое слагаемое. В процессе доказательства теоремы 7 было показано, что . По определению
выполнено ,
или (что тоже самое) . Итак, при . Следовательно, . По определению непрерывна на множестве .
2) Проверим существование и непрерывность :
, .
f(v;y), -f(u;y) - непрерывны на 1 по теореме о непрерывности сложной функции.
3) Связь между функциями I и Ф устанавливается формулой: . В силу доказанного выше функцию I(y) можно дифференцировать по правилу дифференцирования сложной функции: . Следовательно,
.