- •Интегралы, зависящие от параметра
- •§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •1. Определение интегралов, зависящих от параметра
- •2. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
- •3. Предельный переход под знаком интеграла
- •4 Непрерывность по параметру
- •5. Дифференцирование по параметру
- •6. Интегрирование по параметру
- •§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •1. Равномерная сходимость интегралов
- •2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •§3. Интегралы Эйлера
- •Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
- •Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)
2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
а) Предельный переход под знаком интеграла
Теорема 5. Пусть функция f(x;y) определена для xa и yY. Если:
-
f(x;y) непрерывна по х;
-
f(x;y) при yy0 стремится к предельной функции (x) равномерно относительно х в каждом конечном промежутке [a;A];
-
интеграл (1) сходится равномерно относительно у в области Y,
то . (8)
Доказательство.
1) Функция (x)-непрерывна (в силу условий теоремы).
2) из (3) следует >0 A0a: A>A>A0, yY выполнено .
Переходя в последнем неравенстве к пределу при yy0 (это возможно сделать по теореме о предельном переходе в собственном интеграле на основании условия), получим . Следовательно, функция (x) интегрируема на [a;+), т.е. .
3) A>a имеем
. (9)
По определению 2 из п.1 . (10)
Из существования следует . (11)
Из п.2 следует, что для сколь угодно большого А
.(12)
Из (9)-(12) следует:.
По определению это означает, что выполнено (8).
б) Непрерывность несобственного интеграла
Теорема 6. Пусть функция f(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных для значений xa и y[c;d]. Если интеграл (1) сходится равномерно относительно у в промежутке [c;d], то он представляет собой непрерывную функцию от параметра у в этом промежутке.
Доказательство.
Пусть x[a;A], yy0, y0[c;d]. В теореме 5 §1 (п.4) показано, что функция f(x;y) в этом случае равномерно относительно х стремится к предельной функции f(x;y0). Тогда по этой теореме в интеграле (1) можно перейти к пределу под знаком интеграла:
.
По определению I(y) непрерывна в точке y=y0, а следовательно, и на [c;d].
в) Интегрирование по параметру
Теорема 7. При предположениях теоремы 6 имеет место равенство:
.
Доказательство.
Возьмем A>a. Тогда
. (13)
По теореме 9 §1: . Поэтому из (13) получим
.
В силу равномерной сходимости интеграла (1) >0 A0a: A>A0, y[c;d] выполнено .
Тогда .
По определению , т. е.
.
г) Дифференцирование по параметру
Теорема 8. Пусть функция f(x;y) определена и непрерывна по х для xa и y[c;d]. Если:
1) f(x;y) имеет непрерывную производную по обеим переменным для xa и y[c;d];
2) интеграл (1) сходится y[c;d];
3) интеграл сходится равномерно по y[c;d],
то y[c;d] имеет место формула: .
Доказательство.
К функции на отрезке [c;y], y[c;d] применим теорему 7:
.
Так как функция непрерывна по у (по теореме 6), то по свойству интеграла с переменным верхним пределом
. Тогда , т.е.
.
§3. Интегралы Эйлера
-
Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
Определение. Интегралом Эйлера первого рода (Бета-функцией) называется интеграл вида
. (1)
Этот интеграл является собственным, если одновременно a1, b1. Если же хотя бы одно из этих условий не выполнено, то он – несобственный.
Покажем, что интеграл (1) сходится. Если одновременно a>0, b>0.
Подынтегральная функция имеет, вообще говоря, две особые точки: х=0 и х=1. Поэтому представим (1) в виде:
.
Интеграл I1 является несобственным при a<1, особая точка х=0. Запишем подынтегральную функцию в виде и введем функцию . Т.к. при любом b (конечный, 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Но сходится при 1-a<1, т.е. a>0. Следовательно, I1 сходится при любом b и a>0.
Рассмотрим I2. Он является несобственным при b<1, особая точка х=1. Подынтегральная функция . Положим . Т.к. при любом a (конечный, 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Т.к. сходится при 1-b<1, т.е. b>0, то I2 сходится при любом a и b>0.
Следовательно, интеграл (1) сходится, если a>0, b>0. Т.е. множество {(a;b)| a>0, b>0} – область определения Бета-функции (a;b).
Свойства Бета-функции
1. Положим в (1) x=1-t, получим:
, (2)
т. е. Бета-функция – симметричная функция.
2. Пусть b>1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим
.Т.к. , то
,
т.е. .
Отсюда , или
. (3)
Т.к. Бета-функция – симметричная, то при a>1 будет справедлива формула:
. (4)
Формулы (3) и (4) можно применять для «уменьшения» аргументов, чтобы сделать их, например, меньше 1. Если b=n, где , то применяя формулу (3) повторно, получим
.
Но .
Поэтому .
Если же еще и , то
.
3. Получим для Бета-функции другое аналитическое выражение. Для этого сделаем в (1) замену переменной: . Тогда , . Получим
.
4. Если b=1-a и 0<a<1 (а значит, и 0<b<1), то из последнего соотношения
.
(указанный интеграл вычислен Эйлером).
Если, в частности, взять , то .