- •Интегралы, зависящие от параметра
- •§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •1. Определение интегралов, зависящих от параметра
- •2. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
- •3. Предельный переход под знаком интеграла
- •4 Непрерывность по параметру
- •5. Дифференцирование по параметру
- •6. Интегрирование по параметру
- •§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •1. Равномерная сходимость интегралов
- •2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •§3. Интегралы Эйлера
- •Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
- •Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)
6. Интегрирование по параметру
Теорема 9. Пусть G-простая область (то есть ), где функции (y) и (y) непрерывны на [c;d], а функции 1(x) и 1(x) непрерывны на [a;b]. Тогда если функция f(x;y) непрерывна на замыкании области G, то .
Теорема 9 является переформулировкой теоремы о сведении двойного интеграла к повторному, доказанной раннее. В частности, для прямоугольной области [a,b;c,d] получаем формулу: .
Говорят, что функцию (2) можно интегрировать по параметру у “под знаком интеграла”.
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1. Равномерная сходимость интегралов
Пусть функция f(x;y) определена xa и yY.
Определение 1. Пусть при каждом y=y0Y существует интеграл
.
Тогда интеграл (1)
называется сходящимся на множестве Y.
По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом:
.
Интеграл (2)
представляет собой функцию от А и у.
Определение 2. Если стремление интеграла (2) к I(y) происходит равномерно относительно у в области Y, то интеграл I(y) называется равномерно сходящимся относительно у для указанных значений параметра.
Определение 2 означает, что >0 A0a: A>A0, yY выполнено
.
Определение 3. Сходящийся на множестве Y интеграл (1) I(y) называется равномерно сходящимся на этом множестве, если
.
Определение 2 равносильно определению 3 (доказательство аналогично проведенному в случае собственного интеграла).
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие равномерной сходимости). Для того чтобы интеграл (1) сходился равномерно относительно у в области Y необходимо и достаточно, чтобы >0 A0a: A>A>A0, yY выполнялось .
Теорема 1 - переформулировка общего критерия равномерного стремления функции к пределу.
Признаки равномерной сходимости интегралов
Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Если существует неотрицательная для (х), определенная на промежутке [a;+) такая, что:
1. |f(x;y)|(х) xa, yY;
2. сходится,
то интеграл (1) сходится равномерно относительно у на множестве Y.
Доказательство.
1) В силу признака сравнения интеграл (1) абсолютно, а следовательно, и просто сходится при любом yY (из (1) и (2)).
2) В силу сходимости >0 A0a: A>A>A0 выполнено .
3) .
По теореме 1 I(y) равномерно сходится на Y.
Теорема 3. Пусть функции f(x;y), g(x;y) определены при xa и yY, причем f(x;y) непрерывна по переменной х, а g(x;y) имеет непрерывную по х частную производную . Если:
-
функция g(x;y) при каждом yY монотонна по х и равномерно на множестве Y стремится к нулю при ,
-
интеграл ограничен как функция переменных A[a;+) и yY на множестве ;
то интеграл (3)
равномерно сходится на множестве Y.
При доказательстве используем следующее утверждение.
Вторая теорема о среднем для интегралов.
Если: 1) функции f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на [a;b];
2) функция g(x) монотонна при x[a;b],
то , где .
Доказательство теоремы 3.
1) Согласно второй теореме о среднем для интегралов при любых A,A: a<A<A, справедливо равенство:
, (4)
где .
(Предел не пишем, т.к. функция g(x;y) в силу дифференцируемости по х непрерывна по х).
2) По условию (п. 2) . Тогда
. (5).
Аналогично, . (6)
3) По условию . По определению
(8)
4) Из (4)-(7) следует имеет место оценка По теореме 1 (критерий равномерной сходимости) интеграл (3) равномерно сходится на множестве Y.
Теорема 4. Если: 1) интеграл сходится равномерно на Y;
2) функция g(x;y) ограничена и монотонна по х,
то интеграл (3) сходится равномерно на множестве Y.
(Без доказательства.)